Matem@ticaMente

Per la precisione, consistono in una serie di operazioni da svolgersi  sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente o, comunque, essere più rapide rispetto alla divisione.
In definitiva, abbiamo compreso che  i criteri di divisibilità costituiscono un modo per snellire di un bel po’ la ricerca dei divisori di un numero. La prof. ci anticipa che utilizzeremo i criteri di divisibilità nella scomposizione di un numero in fattori primi.

Iniziamo con il criterio di divisibilità  più semplice.

- Criterio di divisibilità per 2

Abbiamo considerato alcuni multipli di 2:

M(2) = [ 2, 4, 6, 8, 10, 22, 34, 46,…]

La prof. ci ha fatto riflettere sul fatto che essi sono tutti numeri pari, per cui abbiamo dedotto che:

Un numero è divisibile per  2 se termina con una cifra pari (ricordiamo che lo zero è considerato un numero pari)

ESEMPI:

14 è divisibile per 2

23 non è divisibile per 2

- Criterio di divisibilità per 5

La prof. ci ha fatto considerare alcuni multipli di 5:

M(5)= [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…]

Avendo notato che tutti i numeri terminano per cinque o per zero, abbiamo concluso che:

Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque.

ESEMPI:

55 è divisibile per 5 perché termina con cinque

60 è divisibile per 5 perché termina per zero

37 non è divisibile per 5 perché non termina né per cinque né per zero.

- Criterio di divisibilità per 3 e per 9

La prof. ci ha fatto considerare  alcuni multipli di 3 (li ha scelti appositamente):

M (3)= [ 3, 6, 9, 12, 24, 36, 90,…132,…222, …351]

E alcuni multipli di  9:

M(9)= [9, 18, 27, 36, 90, …369,…432,…8919]

Per i numeri sino a due cifre, è stato facile  verificare la divisibilità per 3 e per  9; poiché per quelli con più di due cifre, non eravamo convinti che fossero multipli di 3 e di 9, la prof. ci ha fatto eseguire la divisione in colonna. In tutti i casi considerati, il resto ottenuto era 0.

Abbiamo osservato che i numeri sopra elencati possono essere sia pari che dispari, perciò la tipologia pari/dispari non è un elemento discriminante ai fini della loro divisibilità per 3 (o per 9).

Dopo varie considerazioni, qualcuno di noi ha osservato che, nel caso dei multipli di 3, la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di 3.

A questo punto, abbiamo verificato che anche i multipli del 9, sopra considerati, si comportano allo stesso modo.

Siamo, quindi, giunti alla conclusione che:

Un numero è divisibile per  3 (o 9) se la somma delle sue cifre è multiplo di 3 (o di 9):

ESEMPI:

12 è divisibile per 3     perché 1+ 2= 3

24 è divisibile per 3     perché 2+ 4= 6

3 e 6 sono multipli di 3.

16 non è divisibile per 3    perché  1+6= 7 , che non è multiplo di 3

18 è divisibile per 9  perché 1+ 8= 9

369 è divisibile per 9 perché 3+ 6+ 9= 18

9 e 18 sono multipli di 9.

457 non è divisibile per 9    perché  4+5+7= 16

16 non è multiplo di 9

Abbiamo, infine, osservato che quando un numero è divisibile per 9 lo è anche per 3, mentre non vale il viceversa.

Osservate un po’:

18, 27, 36, 54, 63 si trovano sia nella tabellina del  9 che del 3;

6, 12, 24 si trovano soltanto nella tabellina del 3!

Per finire, vi proponiamo alcuni esercizi (che anche noi abbiamo svolto) mediante i quali potrete verificare la vostra comprensione di quanto esposto.

Esercizi

n.1

Un numero è divisibile per 2 se:

a.Una delle sue cifre è  pari;
b.la sua ultima cifra è pari;
c.ha un numero pari di cifre.

n. 2

Un numero è divisibile per 3 se:

a.la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
b.la differenza delle sue cifre è un multiplo 3;
c.termina con le cifre 3, 6, 9.

n. 3

Un numero è divisibile per 5 se:

a.La somma delle sue cifre è un multiplo di 5;
b.ha come ultima cifra il numero 0 oppure 5;
c.la differenza tra le cifre di posto dispari e quelle di posto pari è multiplo di 5.

n. 4

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 2:

6, 9, 11, 16, 28, 33, 44, 50, 194, 348.

n. 5

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 3:

5, 6, 21, 22, 23, 30, 33, 45, 69.

n. 6

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 5:

6, 10, 15, 20, 22, 23, 30, 33, 35, 47, 51, 60.

n. 7

Scrivi al posto dei puntini una cifra tale da rendere il numero divisibile sia per 3 che per 9.

3…; 10…; ….1; …71; …56; 4…2; 1…27; …57; 77…

Potete scaricare il .pdf di questo articolo cliccando sull'icona seguente.

Alla prossima!

Finito l'articolo dei ragazzi, intervengo per segnalare alcune utili risorse reperibili in rete:

Esercizi interattivi online sui criteri di divisibilità >>

Software sulla divisibilità, da scaricare e installare sul pc >>

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POST CORRELATI

Si dice MULTIPLO di un numero naturale a, diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per un numero qualsiasi della successione dei numeri naturali: [0,1,2,3,4...]

Es: 5*3 = 15,  dove 15 è multiplo di 5 secondo il numero 3.

Poiché la successione dei numeri naturali è infinita, anche i multipli di un numero sono infiniti.

Per esempio, i multipli di M(13) =  [0,13, 26, 39, 52...]

• Lo zero è  multiplo di qualsiasi altro numero, pertanto, d’ora in avanti, lo ometteremo nello scrivere i multipli di un numero;).
• I multipli di 2 costituiscono l’insieme dei numeri pari,tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari.
• Si stabilisce che lo 0 appartenga all’insieme dei numeri pari

Esempi:

Scriviamo i primi cinque multipli di 3 e i primi quattro multipli di 6.

M(3) = [3, 6, 9, 12, 15]

M(6) = [6, 12, 18, 24]

I divisori di un numero

Se un numero, diviso per un altro, dà come resto zero, diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo.

Es: 12 : 4 = 3   con  resto = 0

Se questo non succede, come nella divisione

20 : 8 = 2,  con resto = 4

diremo che 8 non è un divisore di 20 e che, pertanto, 20 non è divisibile per 8.

Consideriamo, adesso i divisori di 8, 12, 18:

D(8) = [1, 2, 4, 8]

D(12) = [1, 2, 3, 4, 6,12]

D(18) = [1, 2, 3 , 6, 9, 18]

Dagli esempi visti, possiamo concludere che:

• I divisori di un numero sono sempre minori o uguali al numero.
• Per trovare tutti i divisori di un numero, lo dividiamo per la successione dei numeri naturali, a partire dal numero stesso fino ad ottenere 1. I quozienti esatti rappresentano i divisori del numero.    

Esempi: determiniamo i divisori di 10, eseguendo le divisioni successive.

10 : 10 = 1  con  r = 0

10: 9 = 1     con r = 1

10 : 8 = 1    con r = 2

10 : 7 = 1    con r = 3

10 : 6 = 1    con r = 4

10 : 5 = 2    con r = 0

10 : 4 = 2    con r = 2

10 : 3 = 3    con r = 1

10 : 2 = 5    con r = 0

10 : 1 = 10  con r = 0

Considerando soltanto le divisioni con resto zero, ovvero i quozienti esatti, troveremo i divisori di 10.

Se applichiamo il metodo delle divisioni successive ai numeri 2 e 7, troveremo che questi hanno per divisori soltanto  l’unità e se stessi.

Questi numeri si dicono numeri primi.

Noi abbiamo finito. Ci sentiremo presto con i criteri di divisibilità.

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- M.C.D ed m.c.m: ripassiamo velocemente!

Numeri per contare cose visibili e invisibili, numeri per indicare frazioni di un intero, numeri per ordinare le cose in sequenza (come quelli delle date), numeri che sono semplici segni (come i numeri del telefono)... Ne usiamo migliaia ogni giorno, e la nostra vita sarebbe inconcepibile senza di essi.
Come diceva Adam Smith, i numeri sono «fra le idee più astratte che la mente umana è in grado di formulare». Eppure, la capacità di contare è
universale: la possiedono anche i popoli il cui vocabolario matematico si riduce a «uno», «due» e «molti». Da dove viene allora questa capacità? È qualcosa che si apprende o è innata come il linguaggio e la facoltà di vedere i colori? E come esistono individui daltonici, ci sono persone incapaci di «vedere i numeri» cioè di percepire le differenze di quantità? II saggio brillante e innovativo del neuroscienziato inglese Brian Butterworth illustra le caratteristiche e le potenzialità dell'intelligenza matematica, il bagaglio genetico innato che fa sì che anche bambini di poche settimane sappiano «contare» e i metodi per insegnare con efficacia la matematica, liberando le facoltà naturali della nostra mente. Butterworth conduce il lettore in un viaggio appassionante attraverso la storia, l'antropologia, le neuroscienze,
l'aritmetica e la teoria dei numeri, dalle caverne preistoriche alle foreste della
Nuova Guinea, tra geni naturali, idiots savants, laureati in materie scientifiche costretti a contare sulle dita per fare un'addizione e persone che dopo un ictus non possono più concepire nessun numero superiore a quattro. Intelligenza matematica non è solo una rassegna delle più recenti scoperte delle neuroscienze relative al funzionamento del cervello umano, un prontuario di storia della matematica, un manuale pratico per scoprire e applicare i fondamenti del calcolo: è, prima di tutto, una ricchissima e sorprendente raccolta di storie e figure memorabili, un tributo entusiasta all'affascinante mondo dei numeri.

IL DIVERTIMENTO IN MATEMATICA

Si è visto quanto riserba, di illuminante, l'innocente tabellina aritmetica sul tema della didattica. Chi poteva immaginare che dal suo “buon uso” dipende addirittura lo sviluppo, in un bambino, delle potenzialità intellettive matematiche? Da noi si comincia a far dire ai bambini 1 per 1, 1; 1 per 2, 2; e così via. Ma si scopre che in questo modo è tempo sprecato. In Cina non si comincia da qui ma si passa alle moltiplicazioni col 2. E questo è niente perchè vi sono ben altre semplificazioni come si è visto!

Insomma – è dura da accettare – fatto sta che i cinesi sono più avanti dell'Occidente in tema di intelligenza matematica.

Il professor Brian Butterworth*, l'autore del libro che ho posto in bella vista all'inizio di questo scritto, dal quale ho tratto il brano sulle tabelline, messo in mostra dall'amica Annarita su questo blog, presenta con vividezza i suoi temi fra cui anche questo sulle tabelline.

Egli in generale dice delle cose che colpiscono e che non si immaginavano. Per esempio sapevate che «la maggior parte di chi ritiene di non avere abilità matematica è vittima di cattivi maestri»? E «Solo il 5 per cento delle persone è affetta da “discalculia”, ovvero incapacità genetica di avere a che fare con i numeri».

Allo scienziato Butterworth preme però una cosa, il divertimento in matematica e per questo si avvale di una frase di Martin Gardner, il decano dei divulgatori di matematica, che ne teneva in gran conto, e la rivolge ai docenti. È questa: «Un insegnante di matematica, indipendentemente da quanto ami la sua materia e da quanto vigore metta nel suo desiderio di comunicarla, deve sempre affrontare una difficoltà soverchiante: come tenere svegli gli studenti. Mi è sempre sembrato che il modo migliore per rendere interessante la matematica agli studenti e ai profani sia quello di accostarvisi con uno spirito giocoso. Sta di fatto che il miglior modo di tener sveglio uno studente è presentargli giochi matematici interessanti, enigmi, trucchi, battute, paradossi, modelli, limerick o una qualsiasi delle centinaia di cose che gli insegnanti ottusi tendono a evitare perché paiono loro frivole».

Interessante, anzi affascinante, e se no com'è possibile far sviluppare nel miglior modo la creatura in noi, la piccola matematica, quando si nasce! Infatti da buon maestro, il professor Butterworth, taglia corto, affermando decisamente che «nasciamo già col senso dei numeri».

A questo punto, alletta sapere di più, e in profondità, di questo emerito scienziato. Sul suo libro, attraverso la recensione iniziale accanto alla relativa copertina, si ha già l'idea di che si tratta. E già questo ci dice tanto di meraviglioso su di lui, ma dispongo di qualcosa di meglio che ora mi appresto a riportare di seguito, poi se vi va potrete leggere tutto dal libro stesso.

È un articolo del Giornale di Brescia del 10 settembre 2002, la firma e di Emiliano Ippolito. Si tratta di una sua intervista al professor Brian Butterworth in occasione di due convegni tenuti a Roma sulla matematica cognitiva.

IL GENE DELLA MATEMATICA

Com'è possibile che un ominide dotato di un cervello lento e pletorico, che viveva nelle caverne, si sia evoluto fino a manipolare contenuti intellettuali complessi come la teoria dei gruppi e la topologia? Esistono aree del cervello che presiedono alle operazioni matematiche? Nel Dna si annidano geni deputati alla costruzione di queste aree? E infine, i numeri intervengono in ogni nostra esperienza mentale, compresi i sogni e le attività apparentemente irrazionali?

A questa e ad altre cruciali domande, cercheranno di dare una risposta i maggiori esperti internazionali di neurobiologia, filosofia della mente e processi cognitivi che parteciperanno al convegno «The cognitive foundation of mathematics» (La fondazione cognitiva della matematica) organizzato a Roma oggi e domani dall'Università La Sapienza e dall'Ecole Nationale Supérieure di Parigi.

Al convegno, insieme ad altri scienziati di fama internazionale come il linguista americano George Lakon, il matematico Keith Devlin – autore per Longanesi del recente saggio «Il gene della matematica» – e il filosofo della matematica Marcus Giaquinto, sarà presente l'inglese Brian Butterworth, tra i più brillanti esponenti delle neuroscienze cognitive, autore del libro «L'intelligenza matematica» (Rizzoli, 1999).

– Prof. Butterworth, molte persone sono convinte di non «essere portate» per la matematica...

«La maggior parte delle persone che avvertono una mancanza di abilità matematica, in realtà, hanno semplicemente ricevuto un insegnamenio sbagliato. Per timore di apparire stupidi, i ragazzi finiscono per evitare la matematica, perdendo così preziose occasioni per imparare. In realtà, cifre alla mano, possiamo affermare che solo il 5 per cento della popolazione mondiale soffre di una "discalculia" ereditaria, ovvero di un'incapacità genetica di avere a che fare con numeri e operazioni aritmetiche. E questo avviene quando i module numbers, i moduli numerici, non riescono a raggiungere il loro normale sviluppo».

– Cosa sono i «moduli numerici»?

«Sono le capacità matematiche di base che tutti noi possediamo sin dalla nascita, e sono collocate nel lobo parietale sinistro del cervello. Si tratta di una sorta di "kit di partenza" dal quale dipende tutto il successivo sviluppo delle nostre capacità matematiche: in esso è inclusa la capacità innata di riconoscere che un insieme di oggetti possiede una quantità esprimibile sotto forma di numero quella che io chiamo una "numerosità" ordinata per grandezza: la "numerosità" quattro include la "numerosità" tre, la due la uno, e così via. Noi nasciamo con una facoltà che ci permette di identificare e comparare fra loro più "numerosità". Oggi abbiamo le prove che i bambini possiedono questa facoltà fin dai primi mesi di vita. Tuttavia sospettiamo che alcune persone nascano effettivamente con moduli numerici difettosi, e per questo siano incapaci di usarla. Questi individui sono affetti, come ho detto prima, da "discalculia". Con altri scienziati stiamo cercando di identificare il gene deputato alla costruzione della parte del cervello che presiede a questa capacità».

– Se noi tutti possediamo una «mente matematica» innata, perché le persone hanno differenti capacità matematiche?

«Lasciando da parte la "discalculia", le principali ragioni sono la qualità dell'insegnamento ricevuta e la cultura in cui ci si è formati. Un ruolo non indifferente è rivestito anche dalla lingua. Alcune lingue rendono più semplice capire il sistema numerico in base dieci: per dire undici, infatti, dicono dieci uno, e così via. Avviene così, ad esempio, nel cinese e nel Giapponese, e non a caso i bambini che parlano queste lingue risultano regolarmente i migliori nelle competizioni internazionali matematiche».

– Professore, come definirebbe il concetto di numero?

«Esistono diversi tipi di numeri. Innanzitutto ci sono le "numerosità", che ripondono alla domanda "quanti?". Ci sono poi i numeri ordinali, che ci aiutano a ordinare le cose in una successione comprensibile, e ancora i numeri di misurazione, come 3.467 chili, e infine i numeri usati come "etichette" per indicare i canali della televisione, il bancomat, il telefono e quant'altro. Tutti questi tipi di numeri hanno differenti proprietà. Per esempio, non ha senso dire che il mio numero telefonico è più grande del tuo, mentre ha senso dire che io ho più figli di te».

– Qual è la relazione tra il nostro hardware matematico di base e la matematica astratta?

«Non solo esiste un hardware deputato all 'esercizio delle facoltà matematiche, ma recenti studi sembrano dimostrare che a diversi gradi di astrazione della matematica corrispondano diverse aree del nostro cervello. La matematica diviene tanto più astratta quanto più si sviluppano i modi di rappresentare le relazioni tra numeri, le relazioni tra relazioni tra numeri, e così via. Col mio gruppo di ricerca ho studiato che individui, non affatto bravi in aritmetica, si rivelano invece straordinariamente portati per l'algebra, che è una branca molto più astratta della matematica. Ricordo ad esempio il caso di un paziente che, a causa di alcune lesioni cerebrali, aveva perso la capacità di operare sui numeri, e tuttavia era in grado di risolvere brillantemente complesse equazioni algebriche».

Gaetano Barbella

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* Brian Butterworth è professore di neuropsicologia cognitiva all'University College di Londra. Ha lavorato a Cambridge, Melbourne, Padova, Trieste, al Massachusetts Institute of Technology e al MaxPlanckInstitut di Nijmegen. Ha fondato e dirige la rivista accademica «Mathematical Cognition». È autore di numerosi saggi scientifici.