Matem@ticaMente
Il Crivello Di Eratostene: Alla Caccia Dei Numeri Primi!
Cari ragazzi e cari lettori,
pubblico, a scuola finita, un articolo di Arianna e Alice di 1° A. Ragazze vedete che non mi sono dimenticata? Siete a conoscenza della rumba che c'è stata nell'ultimo periodo, per via degli alunni tedeschi, ospiti nell'ambito del Progetto Gemellaggio, vero?
Avete fatto un ottimo lavoro! Brave! Vi mando un bacione ovunque vi stiate godendo le vacanze. 
Ma andiamo con il Crivello di Eratostene!
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Ciao a tutti!!! Siamo Arianna. G e Alice. R. di 1° A. Oggi vi proponiamo un post sul Crivello di Eratostene, un procedimento per individuare i numeri primi che ci è piaciuto molto.
Nelle lezioni precedenti abbiamo studiato cosa sono i numeri primi, confrontandoli con i numeri composti, e abbiamo imparato che:
Un numero si dice primo quando è divisibile soltanto per se stesso e per 1.
Sulla differenza tra numeri primi e composti, la prof. ci ha fatto riflettere con attenzione e tutti proprio tutti abbiamo capito quali sono le caratteristiche di entrambi i tipi di numeri
Ma veniamo al Crivello di Eratostene. Crivello significa setaccio: il metodo consiste nell’eliminare progressivamente, come facendoli passare attraverso un setaccio, tutti i numeri composti, ovvero i numeri che oltre ad essere divisibili per 1 e per se stessi, hanno altri divisori.
La prof. ci ha fatto comprendere che non si tratta di una regola matematica, ma di un espediente pratico che semplifica la ricerca dei numeri primi.
Infatti, abbiamo capito che è difficile, molto difficile, individuarli.
L’unico modo per sapere se un numero è primo consiste nel verificare se è divisibile per tutti i numeri che lo precedono!
La prof. ci ha fatto applicare il metodo inventato da Eratostene (275-195 a.C) ai primi 60 numeri naturali.
La consegna è stata la seguente: “ Disegnate una tabella formata da 6 righe e 10 colonne e sistemate ordinatamente all’interno delle 60 caselle i primi 60 numeri naturali". Qui non la riportiamo per guadagnare spazio.
Successivamente abbiamo eliminato il numero 1 che, per convenzione, si è stabilito non essere un numero primo.
Il primo numero primo è 2: nella tabella che segue abbiamo tolto i suoi multipli e evidenziato in rosso il 2.
Il secondo numero primo è il 3; come nella tabella precedente, in questa che segue, abbiamo tolto i suoi multipli ed evidenziato il 3 in rosso, otttenendo:
Ripetendo lo stesso procedimento con il 5 ed eliminando i suoi multipli, abbiamo ottenuto:
Abbiamo applicato, infine, applicato la procedura con il 7.
Ripetendo lo stesso procedimento per altri numeri primi che si susseguono al 7, abbiamo ottenuto una tabella con molte caselle vuote. I numeri contenuti sono tutti e soli i numeri primi compresi tra 1 e 60. Osservando la tabella, si nota che la loro successione non è regolare, ovvero la quantità dei numeri primi non è costante al variare delle righe.
Noi abbiamo finito. Ci sentiamo al prossimo post!
***
Finito l'articolo delle ragazze, mi inserisco io, segnalando il 44esimo numero di Mersenne, calcolato il 4 settembre del 2006, che rappresenta il più grande numero primo sin'ora calcolato via computer. Eccolo: M32582657
Le sue cifre sono: 9808358
Marin Mersenne, fu un monaco francese del XVII secolo che per primo studiò questi rari numeri 300 anni or sono. I primi di Mersenne hanno grande rilevanza in Teoria dei Numeri. Un grande numero di partecipanti alla ricerca dei numeri di Mersenne entra nel GIMPS semplicemente per il piacere di avere un ruolo nella vera ricerca ed ovviamente avere una minima possibilità di trovare un nuovo primo di Mersenne.
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- I numeri naturali e la loro rappresentazione grafica
I Criteri Di Divisibilità per 2, 3, 5, 9, Con Esercizi
Cari ragazzi, amici e lettori,
come seguito del post su “Multipli E Divisori Di Un Numero Naturale”, ecco a voi un secondo articolo di Filippo M. e Manuel M. sui criteri di divisibilità.
Ragazzi vi siete impegnati molto, pertanto voglio dirvi: “Bravi”
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Dalla lezione, svolta in classe, abbiamo compreso che:
I criteri di divisibilità sono delle regole che permettono di verificare la divisibilità di un numero per un altro numero, senza eseguire esplicitamente la divisione.
Per la precisione, consistono in una serie di operazioni da svolgersi sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente o, comunque, essere più rapide rispetto alla divisione.
In definitiva, abbiamo compreso che i criteri di divisibilità costituiscono un modo per snellire di un bel po’ la ricerca dei divisori di un numero. La prof. ci anticipa che utilizzeremo i criteri di divisibilità nella scomposizione di un numero in fattori primi.
Iniziamo con il criterio di divisibilità più semplice.
- Criterio di divisibilità per 2
Abbiamo considerato alcuni multipli di 2:
M(2) = [ 2, 4, 6, 8, 10, 22, 34, 46,…]
La prof. ci ha fatto riflettere sul fatto che essi sono tutti numeri pari, per cui abbiamo dedotto che:
Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (ricordiamo che lo zero è considerato un numero pari)
ESEMPI:
14 è divisibile per 2
23 non è divisibile per 2
- Criterio di divisibilità per 5
La prof. ci ha fatto considerare alcuni multipli di 5:
M(5)= [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…]
Avendo notato che tutti i numeri terminano per cinque o per zero, abbiamo concluso che:
Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque.
ESEMPI:
55 è divisibile per 5 perché termina con cinque
60 è divisibile per 5 perché termina per zero
37 non è divisibile per 5 perché non termina né per cinque né per zero.
- Criterio di divisibilità per 3 e per 9
La prof. ci ha fatto considerare alcuni multipli di 3 (li ha scelti appositamente):
M (3)= [ 3, 6, 9, 12, 24, 36, 90,…132,…222, …351]
E alcuni multipli di 9:
M(9)= [9, 18, 27, 36, 90, …369,…432,…8919]
Per i numeri sino a due cifre, è stato facile verificare la divisibilità per 3 e per 9; poiché per quelli con più di due cifre, non eravamo convinti che fossero multipli di 3 e di 9, la prof. ci ha fatto eseguire la divisione in colonna. In tutti i casi considerati, il resto ottenuto era 0.
Abbiamo osservato che i numeri sopra elencati possono essere sia pari che dispari, perciò la tipologia pari/dispari non è un elemento discriminante ai fini della loro divisibilità per 3 (o per 9).
Dopo varie considerazioni, qualcuno di noi ha osservato che, nel caso dei multipli di 3, la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di 3.
A questo punto, abbiamo verificato che anche i multipli del 9, sopra considerati, si comportano allo stesso modo.
Siamo, quindi, giunti alla conclusione che:
Un numero è divisibile per 3 (o 9) se la somma delle sue cifre è multiplo di 3 (o di 9):
ESEMPI:
12 è divisibile per 3 perché 1+ 2= 3
24 è divisibile per 3 perché 2+ 4= 6
3 e 6 sono multipli di 3.
16 non è divisibile per 3 perché 1+6= 7 , che non è multiplo di 3
18 è divisibile per 9 perché 1+ 8= 9
369 è divisibile per 9 perché 3+ 6+ 9= 18
9 e 18 sono multipli di 9.
457 non è divisibile per 9 perché 4+5+7= 16
16 non è multiplo di 9
Abbiamo, infine, osservato che quando un numero è divisibile per 9 lo è anche per 3, mentre non vale il viceversa.
Osservate un po’:
18, 27, 36, 54, 63 si trovano sia nella tabellina del 9 che del 3;
6, 12, 24 si trovano soltanto nella tabellina del 3!
Per finire, vi proponiamo alcuni esercizi (che anche noi abbiamo svolto) mediante i quali potrete verificare la vostra comprensione di quanto esposto.
Esercizi
n.1
Un numero è divisibile per 2 se:
a.Una delle sue cifre è pari;
b.la sua ultima cifra è pari;
c.ha un numero pari di cifre.
n. 2
Un numero è divisibile per 3 se:
a.la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
b.la differenza delle sue cifre è un multiplo 3;
c.termina con le cifre 3, 6, 9.
n. 3
Un numero è divisibile per 5 se:
a.La somma delle sue cifre è un multiplo di 5;
b.ha come ultima cifra il numero 0 oppure 5;
c.la differenza tra le cifre di posto dispari e quelle di posto pari è multiplo di 5.
n. 4
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 2:
6, 9, 11, 16, 28, 33, 44, 50, 194, 348.
n. 5
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 3:
5, 6, 21, 22, 23, 30, 33, 45, 69.
n. 6
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 5:
6, 10, 15, 20, 22, 23, 30, 33, 35, 47, 51, 60.
n. 7
Scrivi al posto dei puntini una cifra tale da rendere il numero divisibile sia per 3 che per 9.
3…; 10…; ….1; …71; …56; 4…2; 1…27; …57; 77…
Potete scaricare il .pdf di questo articolo cliccando sull'icona seguente.
Alla prossima!
Finito l'articolo dei ragazzi, intervengo per segnalare alcune utili risorse reperibili in rete:
Esercizi interattivi online sui criteri di divisibilità >>
Software sulla divisibilità, da scaricare e installare sul pc >>
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- I numeri naturali e la loro rappresentazione grafica
categorie: numeri primi, aritmetica, operazioni numeriche
Multipli E Divisori Di Un Numero Naturale
Salve a tutti, siamo Manuel M. e Filippo M. di 1° A.
In questo articolo, vi parleremo dei multipli e dei divisori di un numero naturale, un argomento che ci ha appassionato molto.
Dalla scuola elementare, conoscevamo già i divisori e i multipli di un numero, ma le nostre conoscenze erano piuttosto meccaniche. Adesso siamo andati più in profondità, comprendendo altri aspetti matematici più “astratti”, come dice la prof., e di carattere più generale.
Iniziamo.
I multipli di un numero
Si dice MULTIPLO di un numero naturale a, diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per un numero qualsiasi della successione dei numeri naturali: [0,1,2,3,4...]
Es: 5*3 = 15, dove 15 è multiplo di 5 secondo il numero 3.
Poiché la successione dei numeri naturali è infinita, anche i multipli di un numero sono infiniti.
Per esempio, i multipli di M(13) = [0,13, 26, 39, 52...]
- Lo zero è multiplo di qualsiasi altro numero, pertanto, d’ora in avanti, lo ometteremo nello scrivere i multipli di un numero;).
- I multipli di 2 costituiscono l’insieme dei numeri pari,tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari.
- Si stabilisce che lo 0 appartenga all’insieme dei numeri pari
Esempi:
Scriviamo i primi cinque multipli di 3 e i primi quattro multipli di 6.
M(3) = [3, 6, 9, 12, 15]
M(6) = [6, 12, 18, 24]
I divisori di un numero
Se un numero, diviso per un altro, dà come resto zero, diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo.
Es: 12 : 4 = 3 con resto = 0
Se questo non succede, come nella divisione
20 : 8 = 2, con resto = 4
diremo che 8 non è un divisore di 20 e che, pertanto, 20 non è divisibile per 8.
Consideriamo, adesso i divisori di 8, 12, 18:
D(8) = [1, 2, 4, 8]
D(12) = [1, 2, 3, 4, 6,12]
D(18) = [1, 2, 3 , 6, 9, 18]
Dagli esempi visti, possiamo concludere che:
- I divisori di un numero sono sempre minori o uguali al numero.
- Per trovare tutti i divisori di un numero, lo dividiamo per la successione dei numeri naturali, a partire dal numero stesso fino ad ottenere 1. I quozienti esatti rappresentano i divisori del numero.
Esempi: determiniamo i divisori di 10, eseguendo le divisioni successive.
10 : 10 = 1 con r = 0
10: 9 = 1 con r = 1
10 : 8 = 1 con r = 2
10 : 7 = 1 con r = 3
10 : 6 = 1 con r = 4
10 : 5 = 2 con r = 0
10 : 4 = 2 con r = 2
10 : 3 = 3 con r = 1
10 : 2 = 5 con r = 0
10 : 1 = 10 con r = 0
Considerando soltanto le divisioni con resto zero, ovvero i quozienti esatti, troveremo i divisori di 10.
Se applichiamo il metodo delle divisioni successive ai numeri 2 e 7, troveremo che questi hanno per divisori soltanto l’unità e se stessi.
Questi numeri si dicono numeri primi.
Noi abbiamo finito. Ci sentiremo presto con i criteri di divisibilità.
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- I numeri principi e i pensieri del Signor Goldbach
categorie: numeri primi, aritmetica, numeri naturali, operazioni numeriche
I numeri principi e i pensieri del Signor Goldbach
Cari ragazzi delle future classi seconde, il nuovo anno scolastico sta per iniziare e, come già sapete, riprenderemo il ripasso degli argomenti chiave, trattati in prima.
La divisibilità è uno di tali argomenti! Mi è venuto allora in mente l’interesse dimostrato, all’epoca della trattazione, nei riguardi dei numeri primi.
Ricordate il crivello di Eratostene utilizzato per andare alla loro ricerca? Quanto vi siete divertiti!
Ebbene, proprio in riferimento ai numeri primi, cito di seguito un brano tratto da: H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Torino, Einaudi, 1997.
Leggetelo con attenzione, sono sicura che approfondirete le vostre conoscenze al riguardo senza annoiarvi…..anzi, oserei dire, divertendovi.
Il brano in questione è parte di un dialogo tra Roberto e il Mago dei numeri:
[Il Mago dei numeri dice a Roberto:]
-Ma prova a pensare a un numero come
10.000.019
oppure come
141.421.356.237.307
E’ un numero principe [i numeri principe sono quelli primi] o no? Se sapessi quanti matematici si sono rotta la testa per scoprirlo! Questo è un osso duro anche per i più grandi maghi dei numeri!
- Ma se hai appena detto che sapevi come andava avanti ma che non volevi dirlo.
- Beh, sì, insomma ho esagerato un po’.
- Almeno lo ammetti, disse Roberto. A starti a sentire ogni tanto sembra di parlare con il papa e non con il mago dei numeri.
- Le anime più semplici ci provano con computer giganteschi. E calcolano per mesi e mesi, senza smettere, e alla fine il computer va in tilt. […] Ormai abbiamo escogitato dei metodi molto raffinati, ma per quanto possiamo essere perfezionati, con i numeri principi siamo alle prime armi. E questo è diabolico; e il diabolico è divertente. Non trovi?
Il mago dei numeri sembrava proprio allegro e faceva vorticare il suo bastone.
- D’accordo, disse Roberto, ma perché starci tanto dietro?
- Non fare domande stupide!. Il bello è proprio che nel regno dei numeri non c’è quell’odore di chiuso e di muffa che c’è nella matematica del tuo professor Mandibola. Lui e le sue ciambelle! Dovresti essere contento se ti svelo questi segreti.
Ad esempio questo: pensa a un numero superiore a uno, un numero qualunque, e poi raddoppialo.
- 222, disse Roberto. E 444.
- Fra ciascuno di questi numeri e il suo doppio c’è sempre, e dico SEMPRE, almeno un numero primo.
- Sei sicuro?
- Il 307, disse il vecchio. Ma funziona anche con numeri grandissimi.
- Come fai a saperlo?
- Aspetta, aspetta. C’è di meglio, disse il vecchio stiracchiandosi. Ormai non lo fermava più nessuno.
- Prendi un numero pari, non importa quale, basta che sia superiore a due, e ti farò vedere che è la somma di due numeri principi.
- 48, esclamò Roberto.
- Trentuno più diciassette, disse il vecchio, senza pensarci molto.
- 34, gridò Roberto.
- Ventinove più cinque, replicò il vecchio, senza nemmeno levarsi la pipa di bocca.
- E funziona sempre? Chiese Roberto stupito.Perchè?
- Piacerebbe saperlo anche a me, disse il vecchio corrugando la fronte e osservando i riccioli di fumo che soffiava in aria. Quasi tutti i magni dei numeri che conosco hanno cercato di scoprirlo. Funziona sempre senza eccezioni, ma nessuno sa perché. Nessuno è riuscito a dimostrare che è così.
Questa poi…,pensò Roberto, e gli venne da ridere.
- Incredibile, disse, davvero incredibile.
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17= 7 + 13
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11
24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13
26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13
28 = 5 + 23 = 11 +17
30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17
Roberto ha manifestato la sua incredulità perché è convinto, come lo sono molte altre persone tuttora, che della matematica non ci sia più nulla da scoprire, essendo di essa tutto noto.
Del resto, Roberto non aveva gli strumenti per formarsi una diversa opinione della matematica perché quella insegnatagli dal professor Mandibola consisteva in una serie di procedimenti di calcolo governati da regole apparentemente arbitrarie, in poche parole una matematica ridotta all’inconsistenza.
Per fortuna, parlando in sogno con il Mago dei numeri, Roberto ha cominciato a convincersi che la matematica non è soltanto calcolo astruso, ma è anche fantasia, estro ed utile strumento per affinare le proprie capacità speculative. Capacità speculative sono quelle che vi consentono di indagare, osservare..e scoprire…..
Nel suo colloquio con Roberto, il Mago dei numeri ha affermato che è possibile, ma non ne è certo, che ogni numero pari maggiore di due si possa esprimere come somma di due numeri primi.
Tale comportamento è possibile, perché ciò si verifica in tutti i casi che i matematici sono stati in grado di esaminare e perché non si conosce alcun numero pari, maggiore di due, che non sia uguale alla somma di due numeri primi.
Non si sa con certezza perché, fino ad ora, i matematici non sono stati in grado di dimostrarlo.
Quando i matematici si convincono che una certa proposizione debba essere vera, fanno una congettura e poi provano a dimostrare che la proposizione è vera oppure che non lo è.
Nel nostro caso, la congettura è: ogni numero pari maggiore di due è uguale alla somma di due numeri primi ed è nota come ‘congettura di Goldbach’ perché fu proposta nel 1742 dal matematico tedesco Christian Goldbach, che impiegò buona parte degli studi della sua vita per tentare di dimostrarla.
Tale congettura, dopo più di trecento anni, resiste ancora e nessun matematico è stato fino ad ora in grado di dimostrarla!
Colui che sarà in grado di dimostrarla per primo potrà incassare il premio di un milione di dollari messo in palio dagli editori Faber & Faber e Bloomsbury.
Alla prossima ragazzi!
A sinistra, lettera inviata nel 1742 da Goldbach a Eulero
categorie: numeri primi, grandi matematici, matematica e storia
M.C.D ed m.c.m: ripassiamo velocemente!
Per i ragazzi delle future classi seconde: ripassiamo sinteticamente due operazioni aritmetiche molto importanti, che utilizzeremo di frequente anche in futuro. Sono pregati di prestare particolare attenzione coloro che all’epoca hanno incontrato maggiori difficoltà a comprendere ed applicare l’algoritmo
Il Massimo Comune Divisore
Consideriamo i numeri 30 e 40.
I divisori di 30 sono: 1,2,3,5,6,10,15,30
I divisori di 40 sono:1,2,4,5,8,10,20,40
Sono stati evidenziati in rosso i divisori comuni a 30 e 40 che sono:1,2,5,10. Tra questi, 10 è il più grande; esso viene perciò chiamato massimo comune divisore e si indica con MCD.
La notazione in uso è: MCD(30;40) = 10.
Regola pratica per calcolare il MCD.
Il MCD fra due o più numeri è il prodotto dei soli fattori comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo.
Questa regola è basata sulla fattorizzazione o scomposizione in fattori primi
ESEMPIO: scomponiamo 12 e 30 in fattori primi mettendo in colonna i fattori comuni.
12 = 22 ·3
30 = 2 · 3 ·5
Le colonne “piene” individuano i fattori comuni,in questo caso 2 e 3, prendendo poi ciascun fattore con l’esponente più piccolo, troviamo che il
MCD(12;30)= 2 . 3 = 6
Se il MCD fra due numeri è 1, allora l’unico divisore comune è 1. In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro.
Per esempio MCD(15;16)=1, quindi 15 e 16 sono primi tra loro.
Il minimo comune multiplo
Consideriamo di nuovo i numeri 30 e 40.
I multipli di 30 sono: 30,60,90,120,150,180,…
I multipli di 40 sono: 40,80,120,160,200,240….
Il più piccolo multiplo che i numeri 30 e 40 hanno in comune è 120, esso viene perciò chiamato minimo comune multiplo e si indica con m.c.m.
La notazione usata è: mcm(30;40) = 120.
Regola pratica per calcolare il m.c.m
Il mcm fra due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con l’esponente più grande.
Anche questa regola è basata sulla scomposizione in fattori primi.
ESEMPIO: scomponiamo 9 e 42 in fattori primi mettendo nella stessa colonna i fattori comuni.
9 = 32
42 = 2 ·3 ·7
I fattori comuni e non comuni sono 2,3 e 7 , moltiplicando poi questi fattori con i rispettivi esponenti più grandi troviamo che il mcm è
2 ·32 ·7 = 126.
Mi auguro che troviate chiaro questo breve ripasso. Naturalmente, svolgete gli esercizi che vi ho assegnato sul manuale di aritmetica.
A presto
Chi sono
Nome: Annarita Ruberto
Insegno Matematica e Scienze nella scuola media; collaboro con la rivista Scuola e Didattica e con "Ricerche Maestre", il motore di ricerca sicuro(per fanciulli dai 3 ai 12 anni)creato da Maestro Alberto al secolo Alberto Piccini.
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