Matem@ticaMente
Felix Klein, Dentro La Storia Della Matematica
Cari ragazzi, amici e lettori,
oggi è il 25 Aprile, una data memorabile per la Storia italiana e per la nascita della democrazia nel nostro Paese. Su Scientificando ho pubblicato un articolo specifico "25 Aprile 2008, Per Ricordare". Ma il 25 Aprile ricorre anche la nascita di un grande matematico, Felix Christian Klein.
Riporto da Wikipedia:
Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 aprile 1849 – Göttingen, 22 giugno 1925) è stato un matematico tedesco. È conosciuto soprattutto per i suoi contributi alla geometria non euclidea, ai collegamenti tra geometria e teoria dei gruppi e per alcuni risultati sulla teoria delle funzioni.
Nato il 25/4/1849, si compiace di mostrare che ogni elemento di questa data è il quadrato di un numero primo (rispettivamente 5, 2 e 43). Klein frequentò il Ginnasio a Düsseldorf. Dopo il diploma entra all'Università di Bonn e vi studia Matematica e Fisica tra il 1865 e il 1866. Aveva iniziato la sua carriera con l'intenzione di diventare un fisico. Nel 1866, mentre era ancora studente universitario, Julius Plücker gli offrì di essere suo assistente di laboratorio. Plucker aveva la cattedra di Matematica e Fisica sperimentale a Bonn, ma il suo interesse iniziava a radicarsi soprattutto nella Geometria. Klein conseguì il suo dottorato nel 1868, sotto la supervisione di Plucker, con una dissertazione intitolata Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form, sulla Geometria e le sue applicazioni alla meccanica. Nella sua dissertazione, Klein classifica le curve complesse di secondo grado, usando la teoria di Karl Weierstrass dei divisori elementari.
Continuate a leggere su Wikipedia >>
Uno degli oggetti più conosciuti, da lui studiati, è la bottiglia di Klein.
Sempre su Wikipedia, leggiamo:
La bottiglia di Klein è una superficie non-orientabile di genere 2, cioè una superficie per la quale non c'è distinzione fra "interno" ed "esterno". La bottiglia di Klein è stata descritta per la prima volta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein. È strettamente correlata al nastro di Möbius e alle immersioni del piano proiettivo reale come la superficie di Boy.
Seguono alcune immagini della celebre bottiglia.
Bottiglia di Klein ottenuta con del vetro.
Nastro di Möbius ottenuto, dividendo la bottiglia di Klein.
E adesso una serie di link per saperne di più sulla bottiglia di Klein...troverete notizie anche curiose!
- (EN) Bottiglia di Klein su MathWorld
- (EN) Costruzione con foglio di carta
- (EN) Puzzle sulla bottiglia di Klein
- (EN) Costruzione della bottiglia di Klein (filmato avi)
- (EN) Immagini della bottiglia di Klein, di John Sullivan
- (EN) La bottiglia di Klein
- (EN) Origami che rappresentano la bottiglia di Klein
- (EN) Bottiglia di Klein lavorata a maglia
La sigla EN, in parentesi, significa che le risorse sono in lingua inglese, ma sono intuitive e accessibili ugualmente! 
Beh, fatemi sapere, se avete trovato di vostro gradimento l'articolo.
Lo so, lo so che questi sono argomenti ancora lontani dalla vostra portata, cari piccoli, ma intanto aprite la mente alla conoscenza di personaggi di tale calibro, che hanno scritto la storia della Matematica!
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POST CORRELATI
categorie: personaggi, grandi matematici, matematica e storia
Il Teorema Di Pitagora, Per Cominciare...
Cari ragazzi di 2° A e 2°B (ma anche voi di 1°A, se siete curiosi...),
abbiamo appena iniziato la trattazione del Teorema di Pitagora sotto l'aspetto storico, filosofico, religioso. Prima di entrare nel vivo della trattazione matematica, vi propongo un interessante contributo di un nostro nuovo amico "Il vecchio della montagna", un signore colto, sensibile e intelligente, che gestisce un bel blog dal nome: "Cogito ergo sum".
Leggete con attenzione e lasciate, come al solito, le vostre considerazioni mediante un commento.
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Pitagora e i suoi cateti
Sto leggendomi un bel libretto (Mario Livio-La sezione aurea. BUR euro 9.80 ) che consiglio a tutti quelli che NON hanno sudiato matematica, ma gli sarebbe piaciuto.
Sono arrivato solo a pag.46 e contandone 372 ho ancora da camminare...
L'ho comprato perchè questa storia della sezione aurea mi perseguita da quando qualcuno ( ma dove ero? Alle medie? ) cominciò a vantarla insegnandomi a costruirla geometricamente.
Al Liceo, che per me fu classico, me la ritrovai tra i piedi a "Storia dell'arte", orrendo fastidiosissimo insegnamento. Saltava fuori all'improvviso come il pagliaccio dalla scatola a molla.
Quando mi capitò, (da ingegnere che disegnava case ), di tentare prospetti che non fossero un elenco di finestre, provai perfino a metterla nell'edilizia che progettavo. Mi aspetto molto dal libretto...
Però a pag.46 se n'è venuto fuori bel bello il teorema di Pitagora, che è un altro dei tormentoni matematici della scuola. Il teorema di Pitagora ce lo martellano in testa in ogni classe di ordine e grado, e non ce lo dimentichiamo più.
Dice ovviamente che " in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti"
Notare la magia dei nomi: ipotenusa che fa rima con Aretusa e accidenti se questo non è greco. E cateti ? Ma dove lo trovi un vocabolo più magico di cateto?
Il triangolo rettangolo che se ne va a giro a coda ritta, cateti bene in mostra e Ipotenusa dietro, col suo quadrato sul groppone. Quadrato costruito, insomma, a mattoni ben murati.
continuate a leggere il post originale>>
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categorie: personaggi, geometria, sezione aurea, grandi matematici, matematica e storia, numeri irrazionali
Competenti E Incompetenti Con I Numeri
Il nostro amico Gaetano Barbella ci propone un ulteriore interessantissimo articolo sui temi della competenza/incompetenza matematica, come seguito dei due precedenti post: "Tabelline e Didattica" e "Intelligenza Matematica".
In particolare, voi ragazzi, leggete con attenzione e postate le vostre attese riflessioni e considerazioni tramite i commenti.
Grazie ancora una volta, Gaetano!
Tratto dal libro “Intelligenza matematica” di Brian Butterworth
Edizione Rizzoli 1999
La pubblicazione del post “Intelligenza matematica”, mi permette di presentarne un altro che certamente piacerà a tutti i frequentatori di questo blog di matematica, che sono tanti, perchè si parla sui “Competenti e incompetenti con i numeri”. Interessante no?
È stato utile occuparci delle tabelline perché ha rotto un certo incantesimo che faceva sì che molte persone fra giovanissimi e adulti, avessero quasi paura della matematica. E così si è destato, come un'esplosione gioiosa, un interesse per essa in tante ragazze e ragazzi soprattutto che, sorprendentemente, hanno fatto a gara intervenendo con molto entusiasmo e raziocinio.
Ho provato grande piacere nel costatare di aver proposto un intelligente articolo cui ha fatto seguito il successivo, “Intelligenza matematica”, che mirava a far prendere dimestichezza di particolari concetti esibiti dall'autore del libro relativo, Brian Butterworth.
Questo non solo per il fatto in sé, ma anche perché sto per presentarvi, un altro articolo anch'esso tratto ancora dal suddetto libro, per il quale occorre che siano ben chiare le idee sui “moduli numerici” e “numerosità” che qui ricorreranno. Ma per semplificare la cosa è bene dare una ripassatina su questi concetti.
Butterworth afferma che l'abilità matematica nei bambini risulta compromessa quando i module numbers, i moduli numerici, non riescono a raggiungere il loro normale sviluppo. Ma cosa sono i moduli numerici chiamati in causa dal prof. Butterworth?
I “moduli numerici” sono le capacità matematiche di base che tutti noi possediamo sin dalla nascita, e sono collocate nel lobo parietale sinistro del cervello. Si tratta di una sorta di “kit di partenza” dal quale dipende tutto il successivo sviluppo delle nostre capacità matematiche: in esso è inclusa la capacità innata di riconoscere che un insieme di oggetti possiede una quantità esprimibile sotto forma di numero quella che Butterworth chiama, appunto una “numerosità” ordinata per grandezza: la “numerosità” quattro include la “numerosità” tre, la due la uno, e così via. Si nasce così con una facoltà che ci permette di identificare e comparare fra loro più “numerosità”. Oggi si hanno le prove che i bambini possiedono questa facoltà fin dai primi mesi di vita. Tuttavia si sospetta che alcune persone nascano effettivamente con moduli numerici difettosi, e per questo siano incapaci di usarla. Questi individui sono
affetti da “discalculia”, una malattia, della quale gli scienziati stanno cercando di identificarne il gene deputato alla costruzione della parte del cervello che presiede a questa capacità.
Sulla «numerosità» vale molto capire il concetto di numero. Butterworth a tal proposito dice che esistono diversi tipi di numeri. Innanzitutto ci sono le “numerosità”, che rispondono alla domanda “quanti?”. Ci sono poi i numeri ordinali, che ci aiutano a ordinare le cose in una successione comprensibile, e ancora i numeri di misurazione, come 3.467 chili, e infine i numeri usati come “etichette” per indicare i canali della televisione, il bancomat, il telefono e quant'altro. Tutti questi tipi di numeri hanno differenti proprietà. Per esempio, non ha senso dire che il mio numero telefonico è più grande del tuo, mentre ha senso dire che io ho più figli di te.
Sempre sulla «numerosità»: per capire meglio il concetto su cui si basa, rimando al menzionato post “Intelligenza matematica” di questo blog. In particolare ad un mio commento rilasciato al signor NixOS che aveva espresso una sua opinione sulla «numerosità», appunto.
A questo punto esaurita la ripassatina comincio a presentare l'articolo annunciato all'inizio. Auguro a tutti buona lettura, non senza ringraziare l'amica, la prof. Annarita Ruberto, per la sua amabile ospitalità in questo suo bel blog di matematica. Il vostro amico Gaetano
Perché certe persone sono brave con i mumeri e altre no? Nel film "Will Hunting, genio ribelle", il protagonista, interpretato da Matt Damon, è un giovanotto che lavora come inserviente al MIT, la più prestigiosa Università scientifìca del mondo. Mentre lui pulisce e strofina, il professore di matematica dà alla classe un compito di fine semestre. Gli studenti hanno tutte le vacanze per trovare la soluzione e chi ci riuscirà avrà provato a se stesso di essere un eccezionale matematico in una classe di allievi già straordinari per il semplice fatto di essere iscritti al MIT. Dopo che l'aula si è svuotata, Will Hunting lascia da parte gli stracci e scrive la soluzione alla lavagna. Il giorno successivo, il professore, sbalordito, chiede al solutore di farsi avanti, ma ovviamente non si presenta nessuno. Alla fine scopre che è stato Will Hunting, il quale risulta essere un prodigio in matematica alla stregua di Ramanuhjan, il più grande di tutti. Tuttavia, invece di studiare per diventare un matematico, Will preferisce uscire a bere e a combinar guai con i suoi amici del vicinato. Il professore, pur essendo insignito di una medaglia Fields – una specie di premio Nobel per la matematica, solo che viene assegnata ogni quattro anni – ne è affascinato. «Non sono niente in confronto a questo ragazzo», ammette.Allora, da dove viene il talento? Will cerca di spiegarlo alla sua ragazza. Si paragona a Mozart: «Guardava il piano... e lo sonava, ecco tutto. Anch'io potrei sempre suonare. È il modo migliore in cui te lo posso spiegare».
Ci sono due idee diametralmente opposte riguardo alle capacità matematiche. Stando ad una di esse, si tratta di natura: è un tipo di dote biologica – come essere dotati per la musica, forse. Stando all'altra, è questione di cultura: è tutto dovuto a un duro lavoro e al tipo di istruzione ricevuta. C'è anche ovviamente una sorta di via di mezzo: la capacità matematica contiene sia ingredienti naturali che culturali, in proporzioni variabili.
Come in tutte le capacità umane, in realtà ci sono due domande distinte. Perché sono un po' più bravo di Eric a fare le somme e un po' peggio di Diana? In altre parole, che cosa spiega la variazione di capacità nel 90 per cento della popolazione? Il secondo problema riguarda i casi estremi. Che cosa fa di certe persone l'effettivalente reale di Will Hunting e di altre l'esatto contrario? Un dono biologico per i numeri?
Pochi anni fa, i giornali riportarono la storia della (ri)scoperta del cervello di Einstein. Il suo lobo parietale sinistro aveva cellule disposte più densamente del normale. (...),questa è l'area del cervello profondamente coinvolta nei processi numerici. È stato il fatto di nascere con tutte queste cellule in più nel cervello a fare di lui un grande matematico? La teoria del talento biologico suonerebbe più o meno così: i nostri geni (e forse la nostra nutrizione nella vita intrauterina) determineranno il numero di neuroni che avremo nel lobo parietale alla nascita. Quelli che ne hanno di più saranno migliori in matematica di quelli che ne hanno di meno. L'idea sembra plausibile, ma non può essere provata semplicemente correlando il numero di neuroni parietali con le capacità numeriche. Queste ultime potrebbero essere la causa invece che la conseguenza del maggior numero di neuroni. In altre parole, il cervello potrebbe assegnare più neuroni parietali ai compiti numerici – o conservarne un maggior numero in attività (dal momento che i neuroni cominciano a morire fin dal giorno in cui nasciamo) – proprio perché quella parte del cervello viene costantemente «esercitata».
La seconda cosa importante da ricordare è che a portarci oltre le semplici numerosità è l'acquisizione di quelle che io chiamo «risorse culturali»: le parole per esprimere i numeri, le notazioni che usiamo per registrarli e manipolarli e la miriade di metodi e invenzioni che i nostri predecessori hanno donato alla matematica. Una delle cose che rende così improbabile Will Hunting, genio ribelle è che Will non sembra aver trascorso molto tempo ad acquisire queste risorse. Immaginate, se ci riuscite, di chiedere ad Archimede, il più grande matematico dell'antichità, di risolvere la seguente equazione:
2a^2 + 3ab − ab^2 = 0
Avrebbe meno possibilità di riuscirci di un quattordicenne odierno di media istruzione semplicemente perché non conoscerebbe il significato di quegli strani simboli inventati sette secoli dopo il suo assassinio; e neppure il + e il –, invenzioni tedesche del 0, 2, 3, 4, XV° secolo; per non parlare del segno = inventato dall'inglese Robert Recorde nel sedicesimo secolo. Forse avrebbe dei problemi anche con l'idea che un'equazione possa avere radici negative. Per quanto riguarda il calcolo, poi, non ci sarebbe speranza.
Ovviamente Archimede avrebbe potuto imparare rapidamente, ma avrebbe dovuto comunque trascorrere del tempo a impadronirsi delle notazioni e ad aggiornarsi su idee che ai suoi tempi non erano in circolazione. E allora Will Hunting come avrebbe potuto, da solo, capire il problema che il professore aveva assegnato ai suoi alunni del MIT? Per quanto dotato, avrebbe dovuto trascorrere meno tempo a bere e di più a studiare.
Ecco una storiella che i matematici si divertono a raccontare:
«Un avvocato, un artista e un matematico discutono che cosa sia meglio: avere una moglie o un'amante? L'avvocato dice la moglie, sottolineando i vantaggi della legalità e della sicurezza. L'artista dice l'amante, enfatizzando il piacere della libertà. Il matematico dice: “Dovreste averle entrambe, così, quando ognuna delle due pensa che siete con l'altra, potete farvi un po' di matematica in santa pace”».
Ai matematici nulla piace di più che fare matematica e passare il maggior tempo possibile a farla. Anche gli idiots savants, [1] che sono calcolatori più che veri matematici, trascorrono un'eccezionale quantità di tempo a giocare con i numeri e a risolvere problemi, devono farlo perché c'è sempre moltissimo da imparare. Will Hunting non sembra far niente del genere e non ha nulla di questa passione caratteristica.
Io intendo sostenere che le differenze nelle capacità matematiche – purché il fondamentale Modulo Numerico si sia sviluppato normalmente nel nostro cervello – sono dovute unicamente all'acquisizione degli strumenti concettuali forniti dalla cultura.
La natura, grazie ai geni, fornisce l'equipaggiamento speciale, il Modulo Numerico; tutto il resto é addestramento. Per diventare bravi con i numeri bisogna immergevisi.
Questa è la teoria della «mano del tintore» [2]. Certo, penserete, c'era qualche differenza essenziale e innata tra i bambini della vostra classe, in particolare tra quelli che sembravano trovare facile la matematica e quelli per i quali essa era costantemente una lotta. In particolare, non nego che ci possano essere differenze nella capacità di concentrarsi nel lavoro o nel tipo di cose che si trovano interessanti.
La mia tesi è che non ci sia differenza nelle capacità specifiche innate per fare matematica. Variazioni normali e anormali.
Tutti gli esami di matematica mostrano che esiste una grande dispersione nel livello delle prestazioni, dal migliore al peggiore. Ci sono moltissimi motivi che spiegano perché i bambini vadano male agli esami. Alcuni arrivano a star male fisicamente; per altri, l'ansia è causa di pessimi risultati. C'è chi ha orribili esperienze di vita familiare e chi esperienze ugualmente orribili di vita scolastica.
C'è un test standard usato dal TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) utilizzato per il raffronto di tredicenni e di quattordicenni nelle scuole di 25 paesi (vedi Inserto 7.1). Perciò possiamo raffrontare differenze tra individui in uno stesso paese e tra paesi diversi. In Inghilterra, tolto il migliore e il peggiore 5 per cento dei quattordicenni, la differenza tra il peggiore e il migliore è di circa 300 punti
sulla scala TIMSS. Quanto di essa può essere attribuito a differenze naturali di talento e quanto all'acquisizione delle risorse culturali? Un indizio ci viene dal raffronto tra il paese migliore e il peggiore dell'elenco. Il punteggio medio dei bambini di Singapore (il paese migliore) è di circa 225 punti più alto del punteggio medio dei bambini del paese con la prestazione peggiore, la Repubblica Islamica dell'Iran. Ciò significa che il punteggio medio dei bambini iraniani equivale a quello del 5% peggiore dei giovanissimi di Singapore.
La differenza di prestazione media tra Singapore e l'Iran è sicuramente dovuta alla cultura. Non solo all'insegnamento ovviamente, ma all'atteggiamento nei confronti dell'apprendimento secolare, allo stato delle scuole, alla nutrizione, alla pace, alla guerra e così via. Le differenze tra i migliori studenti di Singapore e i migliori iraniani è ancora maggiore, il che indica come il sistema iraniano funzioni ancora peggio per gli studenti migliori che non per quelli di medio livello. Quanto più a lungo un cammino è esposto ai sistemi dei due paesi, tanto maggiore diventa il divario tra di loro. A nove anni – l'età minima testata dallo studio del TIMSS – la differenza è di 180 punti. Ci fosse stato un test per neonati, la differenza sarebbe stata zero!
Sono qui riportati alcuni esempi di domande poste ad adolescenti di tredici/quattordici anni. Alla fine di ciascun problema, è data la percentuale di tredicenni sottoposti a test che arrivarono alla risposta corretta e anche la percentuale riscontrata nel paese che totalizzò il punteggio più elevato.
1. Frazioni e senso del numero
A. Luke si allena correndo 5 km ogni giorno. II suo percorso è lungo 1/4 di Km.
Quante volte deve percorrerlo ogni giorno?
Risposta: ......
[Media internazionale: 42%; Paese migliore, 72%]
B. Teresa vuole registrare cinque canzoni su una cassetta. La lunghezza di ogni brano è mostrata nella tabella.
Brano Durata
1 2 minuti e 41 secondi
2 3 minuti e 10 secondi
3 2 minuti e 51 secondi
4
4 3 minuti
5 3 minuti e 32 secondi
Stimare al minuto più vicino il tempo totale necessario per registrare tutti i cinque brani, e spiegare come si è arrivati a questa stima.
Stima: .......
Spiegazione:
[Media internazionale: 31%; Paese migliore 74%].
2. Algebra
Se m rappresenta un numero positivo, quale di queste espressioni è equivalente a m+m+m+m?
A. m + 4
B. 4m
C. m^4
D. 4 (m + 1)
[Media internazionale 47 %; Paese migliore 77%]
POST CORRELATI
- Intelligenza Matematica
- Tabelline e Matematica
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Note:
[1] – Si tratta di gemelli identici che, naturalmente, hanno gli stessi geni.
[2] – È un modo per dire che bisogna sporcarsi le mani, come il tintore che immerge la mano nella tintura per sincerarsi della buona tenuta della tinta.
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Video di YouTube dal film "Will Hunting, genio ribelle"
categorie: matematica, grandi matematici, matematica e storia
Intelligenza Matematica
Cari ragazzi,
in questo post il nostro amico Gaetano Barbella ci fornisce delle utili e significative informazioni sul libro "Intelligenza Matematica" da cui è stato tratto il brano del post sulle "Tabelline e Didattica", che ha suscitato il vostro interesse sincero e che è stato molto apprezzato da grandi e piccini.
Grazie, come sempre, Gaetano!
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intelligenza matematica
UN LIBRO DA LEGGERE «UN'OPERA RICCA, IMPORTANTE E PIENA DI FASCINO» IL DIVERTIMENTO IN MATEMATICA Si è visto quanto riserba, di illuminante, l'innocente tabellina aritmetica sul tema della didattica. Chi poteva immaginare che dal suo “buon uso” dipende addirittura lo sviluppo, in un bambino, delle potenzialità intellettive matematiche? Da noi si comincia a far dire ai bambini 1 per 1, 1; 1 per 2, 2; e così via. Ma si scopre che in questo modo è tempo sprecato. In Cina non si comincia da qui ma si passa alle moltiplicazioni col 2. E questo è niente perchè vi sono ben altre semplificazioni come si è visto! Insomma – è dura da accettare – fatto sta che i cinesi sono più avanti dell'Occidente in tema di intelligenza matematica. Il professor Brian Butterworth*, l'autore del libro che ho posto in bella vista all'inizio di questo scritto, dal quale ho tratto il brano sulle tabelline, messo in mostra dall'amica Annarita su questo blog, presenta con vividezza i suoi temi fra cui anche questo sulle tabelline. Egli in generale dice delle cose che colpiscono e che non si immaginavano. Per esempio sapevate che «la maggior parte di chi ritiene di non avere abilità matematica è vittima di cattivi maestri»? E «Solo il 5 per cento delle persone è affetta da “discalculia”, ovvero incapacità genetica di avere a che fare con i numeri». Allo scienziato Butterworth preme però una cosa, il divertimento in matematica e per questo si avvale di una frase di Martin Gardner, il decano dei divulgatori di matematica, che ne teneva in gran conto, e la rivolge ai docenti. È questa: «Un insegnante di matematica, indipendentemente da quanto ami la sua materia e da quanto vigore metta nel suo desiderio di comunicarla, deve sempre affrontare una difficoltà soverchiante: come tenere svegli gli studenti. Mi è sempre sembrato che il modo migliore per rendere interessante la matematica agli studenti e ai profani sia quello di accostarvisi con uno spirito giocoso. Sta di fatto che il miglior modo di tener sveglio uno studente è presentargli giochi matematici interessanti, enigmi, trucchi, battute, paradossi, modelli, limerick o una qualsiasi delle centinaia di cose che gli insegnanti ottusi tendono a evitare perché paiono loro frivole». Interessante, anzi affascinante, e se no com'è possibile far sviluppare nel miglior modo la creatura in noi, la piccola matematica, quando si nasce! Infatti da buon maestro, il professor Butterworth, taglia corto, affermando decisamente che «nasciamo già col senso dei numeri». A questo punto, alletta sapere di più, e in profondità, di questo emerito scienziato. Sul suo libro, attraverso la recensione iniziale accanto alla relativa copertina, si ha già l'idea di che si tratta. E già questo ci dice tanto di meraviglioso su di lui, ma dispongo di qualcosa di meglio che ora mi appresto a riportare di seguito, poi se vi va potrete leggere tutto dal libro stesso. È un articolo del Giornale di Brescia del 10 settembre 2002, la firma e di Emiliano Ippolito. Si tratta di una sua intervista al professor Brian Butterworth in occasione di due convegni tenuti a Roma sulla matematica cognitiva. IL GENE DELLA MATEMATICA Com'è possibile che un ominide dotato di un cervello lento e pletorico, che viveva nelle caverne, si sia evoluto fino a manipolare contenuti intellettuali complessi come la teoria dei gruppi e la topologia? Esistono aree del cervello che presiedono alle operazioni matematiche? Nel Dna si annidano geni deputati alla costruzione di queste aree? E infine, i numeri intervengono in ogni nostra esperienza mentale, compresi i sogni e le attività apparentemente irrazionali? A questa e ad altre cruciali domande, cercheranno di dare una risposta i maggiori esperti internazionali di neurobiologia, filosofia della mente e processi cognitivi che parteciperanno al convegno «The cognitive foundation of mathematics» (La fondazione cognitiva della matematica) organizzato a Roma oggi e domani dall'Università La Sapienza e dall'Ecole Nationale Supérieure di Parigi. Al convegno, insieme ad altri scienziati di fama internazionale come il linguista americano George Lakon, il matematico Keith Devlin – autore per Longanesi del recente saggio «Il gene della matematica» – e il filosofo della matematica Marcus Giaquinto, sarà presente l'inglese Brian Butterworth, tra i più brillanti esponenti delle neuroscienze cognitive, autore del libro «L'intelligenza matematica» (Rizzoli, 1999). – Prof. Butterworth, molte persone sono convinte di non «essere portate» per la matematica... «La maggior parte delle persone che avvertono una mancanza di abilità matematica, in realtà, hanno semplicemente ricevuto un insegnamenio sbagliato. Per timore di apparire stupidi, i ragazzi finiscono per evitare la matematica, perdendo così preziose occasioni per imparare. In realtà, cifre alla mano, possiamo affermare che solo il 5 per cento della popolazione mondiale soffre di una "discalculia" ereditaria, ovvero di un'incapacità genetica di avere a che fare con numeri e operazioni aritmetiche. E questo avviene quando i module numbers, i moduli numerici, non riescono a raggiungere il loro normale sviluppo». – Cosa sono i «moduli numerici»? «Sono le capacità matematiche di base che tutti noi possediamo sin dalla nascita, e sono collocate nel lobo parietale sinistro del cervello. Si tratta di una sorta di "kit di partenza" dal quale dipende tutto il successivo sviluppo delle nostre capacità matematiche: in esso è inclusa la capacità innata di riconoscere che un insieme di oggetti possiede una quantità esprimibile sotto forma di numero quella che io chiamo una "numerosità" ordinata per grandezza: la "numerosità" quattro include la "numerosità" tre, la due la uno, e così via. Noi nasciamo con una facoltà che ci permette di identificare e comparare fra loro più "numerosità". Oggi abbiamo le prove che i bambini possiedono questa facoltà fin dai primi mesi di vita. Tuttavia sospettiamo che alcune persone nascano effettivamente con moduli numerici difettosi, e per questo siano incapaci di usarla. Questi individui sono affetti, come ho detto prima, da "discalculia". Con altri scienziati stiamo cercando di identificare il gene deputato alla costruzione della parte del cervello che presiede a questa capacità». – Se noi tutti possediamo una «mente matematica» innata, perché le persone hanno differenti capacità matematiche? «Lasciando da parte la "discalculia", le principali ragioni sono la qualità dell'insegnamento ricevuta e la cultura in cui ci si è formati. Un ruolo non indifferente è rivestito anche dalla lingua. Alcune lingue rendono più semplice capire il sistema numerico in base dieci: per dire undici, infatti, dicono dieci uno, e così via. Avviene così, ad esempio, nel cinese e nel Giapponese, e non a caso i bambini che parlano queste lingue risultano regolarmente i migliori nelle competizioni internazionali matematiche». – Professore, come definirebbe il concetto di numero? «Esistono diversi tipi di numeri. Innanzitutto ci sono le "numerosità", che ripondono alla domanda "quanti?". Ci sono poi i numeri ordinali, che ci aiutano a ordinare le cose in una successione comprensibile, e ancora i numeri di misurazione, come 3.467 chili, e infine i numeri usati come "etichette" per indicare i canali della televisione, il bancomat, il telefono e quant'altro. Tutti questi tipi di numeri hanno differenti proprietà. Per esempio, non ha senso dire che il mio numero telefonico è più grande del tuo, mentre ha senso dire che io ho più figli di te». – Qual è la relazione tra il nostro hardware matematico di base e la matematica astratta? «Non solo esiste un hardware deputato all 'esercizio delle facoltà matematiche, ma recenti studi sembrano dimostrare che a diversi gradi di astrazione della matematica corrispondano diverse aree del nostro cervello. La matematica diviene tanto più astratta quanto più si sviluppano i modi di rappresentare le relazioni tra numeri, le relazioni tra relazioni tra numeri, e così via. Col mio gruppo di ricerca ho studiato che individui, non affatto bravi in aritmetica, si rivelano invece straordinariamente portati per l'algebra, che è una branca molto più astratta della matematica. Ricordo ad esempio il caso di un paziente che, a causa di alcune lesioni cerebrali, aveva perso la capacità di operare sui numeri, e tuttavia era in grado di risolvere brillantemente complesse equazioni algebriche». Gaetano Barbella ***************************** * Brian Butterworth è professore di neuropsicologia cognitiva all'University College di Londra. Ha lavorato a Cambridge, Melbourne, Padova, Trieste, al Massachusetts Institute of Technology e al MaxPlanckInstitut di Nijmegen. Ha fondato e dirige la rivista accademica «Mathematical Cognition». È autore di numerosi saggi scientifici.
Numeri per contare cose visibili e invisibili, numeri per indicare frazioni di un intero, numeri per ordinare le cose in sequenza (come quelli delle date), numeri che sono semplici segni (come i numeri del telefono)... Ne usiamo migliaia ogni giorno, e la nostra vita sarebbe inconcepibile senza di essi.
Come diceva Adam Smith, i numeri sono «fra le idee più astratte che la mente umana è in grado di formulare». Eppure, la capacità di contare è
universale: la possiedono anche i popoli il cui vocabolario matematico si riduce a «uno», «due» e «molti». Da dove viene allora questa capacità? È qualcosa che si apprende o è innata come il linguaggio e la facoltà di vedere i colori? E come esistono individui daltonici, ci sono persone incapaci di «vedere i numeri» cioè di percepire le differenze di quantità? II saggio brillante e innovativo del neuroscienziato inglese Brian Butterworth illustra le caratteristiche e le potenzialità dell'intelligenza matematica, il bagaglio genetico innato che fa sì che anche bambini di poche settimane sappiano «contare» e i metodi per insegnare con efficacia la matematica, liberando le facoltà naturali della nostra mente. Butterworth conduce il lettore in un viaggio appassionante attraverso la storia, l'antropologia, le neuroscienze,
l'aritmetica e la teoria dei numeri, dalle caverne preistoriche alle foreste della
Nuova Guinea, tra geni naturali, idiots savants, laureati in materie scientifiche costretti a contare sulle dita per fare un'addizione e persone che dopo un ictus non possono più concepire nessun numero superiore a quattro. Intelligenza matematica non è solo una rassegna delle più recenti scoperte delle neuroscienze relative al funzionamento del cervello umano, un prontuario di storia della matematica, un manuale pratico per scoprire e applicare i fondamenti del calcolo: è, prima di tutto, una ricchissima e sorprendente raccolta di storie e figure memorabili, un tributo entusiasta all'affascinante mondo dei numeri.
categorie: eventi, interviste, matematica, grandi matematici, operazioni numeriche
Pitagora Colpisce Ancora...
Cari ragazzi, amici e visitatori,
vi segnalo due interessanti post su Pitagora.
Il primo è dell'amica animans. Vi riporto l'introduzione, invitandovi a leggere l'originale al link sotto indicato.
"Benché sia quasi impossibile attribuire con certezza qualsivolgia conquista matematica sia a Pitagora sia ai suoi discepoli non v'è dubbio che siano stati loro a mescolare teoria dei numeri, filosofia della vita e misticismo in una misura forse senza uguli. E a tale proposito, non è privo di interesse il fatto che Pitagora fosse contemporaneo di altri fondatori di grandi religioni quali Buddha e Confucio.
Continua a leggere il post originale >>
Il secondo è dell'amico Michelangelo.
"Sicuramente uno dei matematici più noti, Pitagora di Samo, è anche una delle figure più misteriose e controverse dell’antichità. Visse nel VI secolo a. C., ma non esiste nessun trattato scritto di suo pugno e molte delle storie sul suo conto oscillano tra verità e leggenda.
Pare che viaggiò molto: secondo alcuni si spinse fino in India ed anche in Bretagna. E’ comunque certo che ebbe modo di conoscere ed approfondire la matematica egiziana e babilonese. A Samo trovò grandi difficoltà a fondare una scuola in una città ottenebrata dalla tirannia di Policrate. Così fuggì in Italia e l’incontro con Milone fu idilliaco. Si rivelò infatti un patrono ideale: un grande atleta, campione dei giochi olimpici, ma amante anche della filosofia, finanziò la scuola di Pitagora.
Nacque il Sodalizio pitagorico: più che una scuola, fu quasi una setta, una setta di “filosofi”, nuova parola, coniata da Pitagora. Le scoperte della scuola erano assolutamente segrete, il linguaggio cifrato."
categorie: geometria, frattali, grandi matematici
Pitagora ascoltò la musica dei pianeti
Un altro prezioso contributo del nostro amico Gaetano Barbella. Grazie Gaetano 
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Le delicate leggi dell'armonia regolano la vita e le orbite dei corpi celesti.
PITAGORA ASCOLTÒ LA MUSICA DEI PIANETI
A cura di Paolo Gregorelli
(Tratto dal Giornale di Brescia del 16.10.1996)
Dio creò i numeri (interi), dopo Pitagora li prese, li lanciò nel cielo e ascoltò «il placido silenzio e la notte accordarsi con le note di una dolce armonia». Nacque così, tra le stelle, la musica.
Prolungando sino in cielo il comandamento «tutto è numero» la filosofia pitagorica ci porta sull'orlo della scienza: al big-bang del processo di materializzazione dell'esperieza umana in cui la qualità dei fenomeni viene ridotta alla quantità. I pianeti risuonano le melodie e le note del rapporto matematico che il Divino Musico dispose per ordinare il moto e la distribuzione nei cieli.
Nella visione pitagorica la musica si nobilita sposando la matematica di cui diviene la manifestazione sensibile. Come in una grande lira l'altezza di una nota dipende dalla lunghezza della corda che la produce, così la melodia di ogni pianeta risuona diversa secondo il rapporto della sua orbita.
La sinfonia che ne nasce non ha però il gradevole effetto di un accordo, ma il suono di un equilibrio, l'espressione di un ordine, la regola di un adattamento. La musica trova nella proporzione numerica il senso della melodia del coro planetario e diviene assieme alla geometria, il linguaggio matematico del moto. Il dio di Pitagora non è quindi solo l'abile architetto dei corpi regolari, ma soprattutto il raffinato compositore di matematici righi muusicali disegnati nel cielo.
La geometria dei solidi pitagorici sarebbe potuta bastare alla descrizione di un mondo statico, ma non di un mondo in moto circolare come era, quello di Pitagora. La musica riempie di movimento la geometria.
Nel luogo dei moti ordinati (cosmo) dove abitano la Luna, il Sole e i pianeti tutti, e nell'Olimpo dove riposano le stelle fisse, si coniugano la simmetria delle sfere e la magia delle figure geometriche con la regolare varietà dei suoni celesti. L'armonia diviene la formula della conoscenza.
Geometria, musica e movimento giocano il ruolo di variabili di una forza unificante che riconduce i rapporti dell'Universo all'identità sacra del numero. Non é la ricerca dell'equilibrio all'interno della natura, ma la costrizione della natura alla proporzione che ispira e anima la cosmografia pitagorica.
L'ipotesi dell'Antiterra (pianeta invisibile creato da Pitagora per far tornare i conti) ne offre un esempio illuminante. Per i pitagorici infatti il numero dieci era un numero sacro in quanto somma dei primi quattro numeri, ed essendo i pianeti sino ad allora conosciuti soltanto nove, essi ritennero che doveva esistere per forza un decimo corpo mobile. Lo chiamarono antichthon o Antiterra e lo collocarono tra la terra ed il centro dell'Universo. Attorno all'Hestia - cuore invisibile dell'Universo - serviva la danza circolare dell'Antiterra per coniugare la perfezione del numero dieci con la realtá del cosmo.
Secondo la lunghezza propria della sua orbita, ciascun pianeta sprigionava muovendosi una nota musicale, e lasciava dietro di sé una gamma di tonalità musicali funzione della distanza della sua orbita, da quella degli altri viaggiatori del cielo (pianeti). Gli intervalli tra le corde orbitali erano retti dalle leggi dell'armonia.
La Terra e la Luna erano divisi dall'intervallo di un tono, Mercurio e Venere da un semitono, Venere e il Sole da una terza minore, il Sole e Marte da un tono, Marte e Giove da un semitono, Saturno e la Sfera delle stelle stesse da una terza minore.
Alla fine si otteneva la «gamma pitagorica»: Do Re Mi b., Sol, La, Si b., Si, Re.
Era comunque inutile per i comuni mortali tendere l'orecchio per ascoltare. Solo a Pitagora era dato di partecipare del concerto celeste.
L'idea dell'Universo come immenso strumento musicale soffuso di suoni, influenzò profondamente la rivoluzione cosmologica.
Keplero si innamorò del sogno pitagorico e sul desiderio di comprenderne l'armonia pose le fondamenta della astronomia moderna.
Nota:
L'immagine è stata tratta dal sito Astrocultura UAI.
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Riporto il contenuto del commento al post del nostro amico Federico Bo, che ci suggerisce uno spunto di conoscenza molto interessante. Grazie
Dice Federico
"L'universo ha incominciato a comporre melodie fin dalla sua nascita.
A questo indirizzo è possibile udire il suono del Big Bang, ricreato e reso udibile da uno scienziato americano.
Considerate una cosa: il silenzio che sembra prevalere alla fine della registrazione è in realtà stato colmato dalla nascita delle stelle, delle galassie, dei pianeti e, in definitiva, anche dalle nostre voci e dai nostri pensieri."
categorie: musica, matematica, grandi matematici
I numeri principi e i pensieri del Signor Goldbach
Cari ragazzi delle future classi seconde, il nuovo anno scolastico sta per iniziare e, come già sapete, riprenderemo il ripasso degli argomenti chiave, trattati in prima.
La divisibilità è uno di tali argomenti! Mi è venuto allora in mente l’interesse dimostrato, all’epoca della trattazione, nei riguardi dei numeri primi.
Ricordate il crivello di Eratostene utilizzato per andare alla loro ricerca? Quanto vi siete divertiti!
Ebbene, proprio in riferimento ai numeri primi, cito di seguito un brano tratto da: H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Torino, Einaudi, 1997.
Leggetelo con attenzione, sono sicura che approfondirete le vostre conoscenze al riguardo senza annoiarvi…..anzi, oserei dire, divertendovi.
Il brano in questione è parte di un dialogo tra Roberto e il Mago dei numeri:
[Il Mago dei numeri dice a Roberto:]
-Ma prova a pensare a un numero come
10.000.019
oppure come
141.421.356.237.307
E’ un numero principe [i numeri principe sono quelli primi] o no? Se sapessi quanti matematici si sono rotta la testa per scoprirlo! Questo è un osso duro anche per i più grandi maghi dei numeri!
- Ma se hai appena detto che sapevi come andava avanti ma che non volevi dirlo.
- Beh, sì, insomma ho esagerato un po’.
- Almeno lo ammetti, disse Roberto. A starti a sentire ogni tanto sembra di parlare con il papa e non con il mago dei numeri.
- Le anime più semplici ci provano con computer giganteschi. E calcolano per mesi e mesi, senza smettere, e alla fine il computer va in tilt. […] Ormai abbiamo escogitato dei metodi molto raffinati, ma per quanto possiamo essere perfezionati, con i numeri principi siamo alle prime armi. E questo è diabolico; e il diabolico è divertente. Non trovi?
Il mago dei numeri sembrava proprio allegro e faceva vorticare il suo bastone.
- D’accordo, disse Roberto, ma perché starci tanto dietro?
- Non fare domande stupide!. Il bello è proprio che nel regno dei numeri non c’è quell’odore di chiuso e di muffa che c’è nella matematica del tuo professor Mandibola. Lui e le sue ciambelle! Dovresti essere contento se ti svelo questi segreti.
Ad esempio questo: pensa a un numero superiore a uno, un numero qualunque, e poi raddoppialo.
- 222, disse Roberto. E 444.
- Fra ciascuno di questi numeri e il suo doppio c’è sempre, e dico SEMPRE, almeno un numero primo.
- Sei sicuro?
- Il 307, disse il vecchio. Ma funziona anche con numeri grandissimi.
- Come fai a saperlo?
- Aspetta, aspetta. C’è di meglio, disse il vecchio stiracchiandosi. Ormai non lo fermava più nessuno.
- Prendi un numero pari, non importa quale, basta che sia superiore a due, e ti farò vedere che è la somma di due numeri principi.
- 48, esclamò Roberto.
- Trentuno più diciassette, disse il vecchio, senza pensarci molto.
- 34, gridò Roberto.
- Ventinove più cinque, replicò il vecchio, senza nemmeno levarsi la pipa di bocca.
- E funziona sempre? Chiese Roberto stupito.Perchè?
- Piacerebbe saperlo anche a me, disse il vecchio corrugando la fronte e osservando i riccioli di fumo che soffiava in aria. Quasi tutti i magni dei numeri che conosco hanno cercato di scoprirlo. Funziona sempre senza eccezioni, ma nessuno sa perché. Nessuno è riuscito a dimostrare che è così.
Questa poi…,pensò Roberto, e gli venne da ridere.
- Incredibile, disse, davvero incredibile.
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17= 7 + 13
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11
24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13
26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13
28 = 5 + 23 = 11 +17
30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17
Roberto ha manifestato la sua incredulità perché è convinto, come lo sono molte altre persone tuttora, che della matematica non ci sia più nulla da scoprire, essendo di essa tutto noto.
Del resto, Roberto non aveva gli strumenti per formarsi una diversa opinione della matematica perché quella insegnatagli dal professor Mandibola consisteva in una serie di procedimenti di calcolo governati da regole apparentemente arbitrarie, in poche parole una matematica ridotta all’inconsistenza.
Per fortuna, parlando in sogno con il Mago dei numeri, Roberto ha cominciato a convincersi che la matematica non è soltanto calcolo astruso, ma è anche fantasia, estro ed utile strumento per affinare le proprie capacità speculative. Capacità speculative sono quelle che vi consentono di indagare, osservare..e scoprire…..
Nel suo colloquio con Roberto, il Mago dei numeri ha affermato che è possibile, ma non ne è certo, che ogni numero pari maggiore di due si possa esprimere come somma di due numeri primi.
Tale comportamento è possibile, perché ciò si verifica in tutti i casi che i matematici sono stati in grado di esaminare e perché non si conosce alcun numero pari, maggiore di due, che non sia uguale alla somma di due numeri primi.
Non si sa con certezza perché, fino ad ora, i matematici non sono stati in grado di dimostrarlo.
Quando i matematici si convincono che una certa proposizione debba essere vera, fanno una congettura e poi provano a dimostrare che la proposizione è vera oppure che non lo è.
Nel nostro caso, la congettura è: ogni numero pari maggiore di due è uguale alla somma di due numeri primi ed è nota come ‘congettura di Goldbach’ perché fu proposta nel 1742 dal matematico tedesco Christian Goldbach, che impiegò buona parte degli studi della sua vita per tentare di dimostrarla.
Tale congettura, dopo più di trecento anni, resiste ancora e nessun matematico è stato fino ad ora in grado di dimostrarla!
Colui che sarà in grado di dimostrarla per primo potrà incassare il premio di un milione di dollari messo in palio dagli editori Faber & Faber e Bloomsbury.
Alla prossima ragazzi!
A sinistra, lettera inviata nel 1742 da Goldbach a Eulero
categorie: numeri primi, grandi matematici, matematica e storia
Chi sono
Nome: Annarita Ruberto
Insegno Matematica e Scienze nella scuola media; collaboro con la rivista Scuola e Didattica e con "Ricerche Maestre", il motore di ricerca sicuro(per fanciulli dai 3 ai 12 anni)creato da Maestro Alberto al secolo Alberto Piccini.
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