Matem@ticaMente

Cari ragazzi delle seconde A e B,

ho scelto in rete per voi dei test, da svolgere completamente online sulle diverse tipologie di numeri razionali: decimali finiti, illimitati periodici semplici e misti, operazioni con le frazioni. Non c'è bisogno di carta e penna perché gli esercizi proposti sono di facile soluzione.

Mi direte:"Ma non sono sufficienti quelli che ci hai già assegnato?

Avete ragione! Questi sono una alternativa per chi ama lavorare online oppure consideratela una proposta aggiuntiva per i più volenterosi. Vedete voi! Una cosa è certa! Non si va in esaurimento per qualche esercizio in più!

Cliccando sui due link, che trovate dopo gli screenshot, raggiungerete le pagine web che ospitano i test.

Nei post correlati, alla fine dell'articolo, si possono consultare, per il ripasso, argomenti inerenti. 

Ubi Math Point - Test sulle frazioni e sul calcolo con le frazioni - Frazioni e operazioni in Q via kwout

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Cari ragazzi, amici e lettori,

questo post nasce per dare la meritata visibilità a due significativi commenti ad un articolo sullo zero di qualche tempo fa: Lo Zero "0": E' Un Numero Naturale, Sì o No?

Autori dei due commenti sono gli amici Gaetano e Enzo. Ma andiamo con ordine e introduciamo il primo commento, che poi parla della straordinaria storia dello zero.

***

La straordinaria storia dello zero.

Abbiamo visto quanta matematica si rileva, scavando nel passato – mettiamo nelle fondamenta di una città come quella di Torino romana. Potremmo tentare questa strada per ampliare l'orizzonte della questione provocatoria dello zero, se naturale o no, posta dalla prof Annarita Ruberto, tanto più che gli accademici della matematica sembrano essere in discordia tra loro su questa cosa.
Infatti, alle diverse opinioni, che potrebbero scaturire, si aggiungerebbe il lato interessante del venire a conoscenza della radice “naturale” dato ai numeri in discussione, ai quali non si sa se lo zero appartenga.
 
Perché non parlare della straordinaria storia dello zero?

<<Lo zero fu dunque inventato dai matematici indiani?>>.

Con questa domanda, inizia il capitolo dedicato alla storia dello zero nel libro “Intelligenza matematica” (di Brian Butterworth) già presentato in questo blog.

L’autore, poi prosegue:<< I nostri simboli numerici derivano sicuramente dai loro, che in origine rappresentavano le unità e le decine secondo il principio delle fiches da poker, e non quello del valore posizionale; il percorso che condusse da quei simboli alla notazione posizionale con lo zero è tuttavia uno dei più straordinari della storia della scienza, un percorso che dipende in modo fondamentale dalla tecnologia ma anche dalla poesia...>>.

E qui l'accademico Butterworth si dilunga sulla storia della valle dell'Indo, ricca e avventurosa. E poi inizia dalla matematica che riguarda voi ragazzi e a noi interessa.

«...C'era moltissima matematica nella valle dell'Indo. Un trattato era stato compilato mille anni prima, ai tempi del massimo splendore della letteratura Veda. Gautama Buddha, secondo il poema epico in sanscrito Lalita Vistara (scritto 2.000 anni fa) conosceva i nomi dei numeri fino a 10^53, e diceva che esistevano altre otto «sequenze» oltre a questa. Probabilmente questi numeri non furono mai usati nei calcoli, ma la consapevolezza della loro esistenza può aver creato un ulteriore impulso a elaborare una notazione atta a rappresentarli...»
E così via.
Ma poi il professore accademico entra nel vivo della storia dello zero, spiegando alcune cose assai interessanti di ordine didattico. Sentite.

«...I matematici indiani avevano un ingrediente segreto che semplificò l'invenzione dello zero: la poesia. Nel popolare poema in versi Agni Purana, scritto in sanscrito attorno al 300 d. C., troviamo numeri scritti in forma di parole con un valore posizionale. Questi in genere non erano vocaboli numerici, ma parole che evocavano il numero. Così, invece di 1 avrebbe potuto essere scritto “luna”, dato che c'è una sola luna; analogamente, per 2 si sarebbe potuto usare “braccia” o “occhi” oppure “ali”; per 5 si sarebbe potuto usare “frecce”, dato che “Kama”, il dio dell'amore, aveva cinque frecce nella sua faretra. Le parole per lo zero erano molte. Fra di esse c'era “sunya”, che significa vuoto, ma c'erano anche parole che significavano completo, buco, intero e così via. Usando una serie di parole, compresi vocaboli numerici, era possibile costruire una frase poetica e memorizzabile.
Parole in successione rappresentavano potenze crescenti di 10 a partire dalle unità, a cui seguivano le decine e così di seguito. Dove mancava una potenza di 10 si usava al suo posto una parola che evocava lo zero. Così, 1.201 poteva scriversi “sasi-paksa-kha-cka”: “Luna-ali-buco-uno”. Questo è un sistema di notazione posizionale con lo zero. Non era più necessario associare ai numeri delle cifre o un nome per specificarne il valore.
Il passo finale fu l'adozione di simboli speciali, chiamati numeri di Gwalior, derivanti dai più antichi numerali brahmi e chiaramente predecessori dei nostri attuali numeri con il 2 e il 3 quasi identici. Il più antico esempio conoscitivo di notazione posizionale con lo zero (un piccolo cerchio) è l'iscrizione di Gwalior, risalente all'87O d.C., in cui compaiono i numeri 270 e 187. Da questo punto, il percorso che conduce ai nostri numerali è diritto. Tutta la parte difficile dell'opera era stata fatta; era necessario soltanto rendere i numeri un po' più chiari...».

«Questa storia mostra che la nostra notazione posizionale non ebbe un unico inventore, né nacque in un solo luogo. I pezzi del mosaico furono messi insieme nel corso di 2.500 anni, a partire dal sistema babilonese parzialmente posizionale, che in qualche casa indicava le posizioni vuote, e passando per la tecnologia delle tavolette, i vocaboli numerici in base 10 del sanscrito e delle lingue che ne discesero, e la poesia delle tavole trigonometriche indiane nel sesto secolo dopo Cristo. ».

Ma voi credete che la storia finisce qui? No, perché c'è quella dello zero dei Maya ancora più straordinaria, descritta di seguito a questa, nel libro di Brian Butterworth.
Ma per ora può bastare, perché ci rende consapevoli di una cosa fondamentale, il valore delle parole. Nel nostro caso è la parola “naturale”, ben sapendo quanta cultura, non solo matematica, gli antichi hanno tratto dalla natura, appunto. E lo zero abbiamo visto che da essa è sorto. (Gaetano)

Continuiamo con il secondo commento che si riferisce ad una splenida poesia del grande Trilussa, proposta da Enzo, con la relativa traduzione dal romanesco in italiano.

Nummeri
- Conterò poco, è vero:
- diceva l'Uno ar Zero -
ma tu che vali? Gnente: propio gnente.
Sia ne l'azzione come ner pensiero
rimani un coso voto e inconcrudente.
lo, invece, se me metto a capofila
de cinque zeri tale e quale a te,
lo sai quanto divento? Centomila.
È questione de nummeri. A un dipresso
è quello che succede ar dittatore
che cresce de potenza e de valore
più so' li zeri che je vanno appresso.

Numeri
-Conterò poco, è vero -
diceva l'uno allo zero -
ma tu che vali? Niente, proprio niente.
Sia nell'azione che nel pensiero
resti una cosa vuota e inconcludente.
Io, invece, se mi metto a capofila
di cinque zeri uguali a te,
sai quanto divento? Centomila.
È questione di numeri. Più o meno
è quanto succede a un dittatore
che cresce di potenza e di valore
più sono gli zeri che lo seguono.

Enzo afferma nel commento di aver reperito la poesia di Trilussa, nel corso di una ricerca in rete, da un post del blog My  Red Passion, che ho visitato e da cui riporto l'interessante risposta dell'autore del blog alla poesia di Trilussa, con la relativa traduzione.

E questa è la mia risposta (dice l'autore):

Risponne er matematico

Cari nummeri uno e zero
nun me pare così nero:
ma perché state a litiga'
su 'a fama che ve s'ha da da'?
Galuà, morto prima de 'o sviluppo,
co' voi dua c'ha fatto 'n gruppo:
si 'n intero sommi co' 'n intero
t'aritorna, ohibò, lo zero!*
E nun zolo! A 'sto monno,
(lo diceva puro mi' nonno)
zzeppo cormo de stranezze,
voi dua sete l'uniche certezze.
Matematico so' nato
informatico diventato:
zeri e uni, pe' ogni dove,
e su questo nun ce piove!
Ecco, mo' ve lo dicemo:
senza voi, 'ndo se mettemo?
Lo diceva puro Pitagora
co' 'r supporto de Anassagora;
er principio de l'univerzo
sta ner contrasto der diverzo:
omo e donna, bianco e nero,
er pesante co' 'r leggero,
poco e tanto, tutto e gnente,
giorno e notte, luna e sole,
contrastante e coerente:
da l'opposti nasce 'a prole!
'Nzomma mo', tajamo corto:
nun se sa a chi da' torto!
Epperciò fate la pace:
er litigio nun ce piace.

Risponde il matematico

Cari numeri uno e zero
a me la situazione non pare grave:
perché litigate
sulla fama che vi spetta?
Galois, morto prima dell'età adulta,
con voi due ha fatto un gruppo:
se si somma un intero con un intero
il risultato, ohibò, è uno zero!*
E non basta! In questo mondo
(e lo sapevano i nostri nonni)
pieno ricolmo di stranezze,
voi due siete le uniche certezze.
Sono nato matematico,
divenuto informatico:
zeri e uni ovunque,
non c'è alcun dubbio!
Ecco, ve lo stiamo dicendo:
senza di voi, che fine faremmo?
Lo diceva anche Pitagora
con l'aiuto di Anassagora;
il principio dell'universo
sta nel contrasto degli opposti:
uomo e donna, bianco e nero,
il pesante con il leggero,
poco e tanto, tutto e niente,
giorno e notte, luna e sole,
il contrasto e la coerenza:
dagli opposti nasce il tutto!
Insomma, per farla breve:
non si sa a chi dare torto!
E dunque, fate pace:
il litigio non ci piace.

E adesso per i ragazzi, ecco dei puzzle games matematici veramente interessanti. Cliccando sul link, che si trova subito dopo l'immagine, raggiungerete un sito in inglese, in cui potrete scegliere tra divertenti proposte di giochi istruttivi.

Evvai con i puzzle games!

Puzzle Games via kwout

 

Cari ragazzi e cari lettori,

questo post è dedicato ai timidi, sì avete compreso bene!  Vi chiederete che cosa c'entri la Matematica con la timidezza...abbiate pazienza e leggete la storiella sino in fondo.

L'autore è il nostrobuon amico Gaetano, ormai di casa su questo blog! Grazie, Gaetano.

****

C'erano dieci numeri compresi da 1 a 9, e con loro anche Zero, che erano compagni di classe. Zero, per via della sua nullità, era assai timido e anche per questo nessuno badava a lui. Ma Zero sentiva il forte bisogno di far valere la sua personalità e cercava di dire la sua ai compagni. Tentava continuamente di vincere la propria timidezza senza, però, riuscirci. Ciò che cercava di dire gli rimaneva sempre dentro ed era come fosse lo scritto, se pur amabile, di una lettera anonima.

Un giorno, i nove numeri, e naturalmente anche Zero, decisero di fare un gioco diverso dal solito, tanto per cambiare. Dissero: "Componiamo delle coppie come per fare un ballo". E così trovarono un modo assai geniale di attuarlo: 1 si unì a 9, 2 a 8, 3 a 7, e 4 a 6, divenendo 4 magnifici 10, con loro sorpresa.

Rimase però da solo 5 che, non trovando altro modo di fare coppia, pur di formare anche lui almeno la metà di 10, chiese al timido Zero in disparte di fare coppia con lui. Naturalmente Zero fu felice di accontentarlo: "Finalmente -diceva a sé stesso- qualcosa pur valgo!"
Ma 5, pur di prevalere sugli altri, divenne furbo perché non si aggiunse a Zero. Fece di più, contro ogni aspettativa di Zero stesso che non se l'aspettava: si unì con lui per formare 50, con sorpresa degli altri 4 dieci.

Concludendo, Zero diventò il più felice dei numeri compresi tra 1 e 9, incluso il 5, perché era riuscito, nonostante la sua nullità, a diventare amico di tutti i suoi compagni, stando accanto a loro da quel momento in poi con il "gioco delle coppie".

La timidezza non dura sempre. La timidezza è una virtù che paga a lungo andare, perché arriva il momento nella vita in cui essa emerge per trionfare e far felici tutti.

Ai timidi occorre un solo accorgimento: avere almeno un briciolo di coraggio per farsi notare dagli altri...poi pensa la sorte a fare il resto.
In fondo, allo zero basta un piccolo decimale, molto meno di uno, anzi ancora di meno, per uscire dalla sua solitudine che gli sembra eterna.

Ma la storiella non finisce qui perché Iddio, dopo aver creato la Terra, vedendo che le sue creature vivevano male decise di avvalersi..."del gioco delle coppie" per mettere fine ai cataclismi che sconvolgevano la loro esistenza.

Così con la prima coppia, formata da 1 e 9, generò il Circolo Polare Artico; con la seconda coppia  2 e 8 il Tropico del Cancro; con la terza coppia 3 e 7 il Tropico del Capricorno; con la quarta coppia 4 e 6 il Circolo Polare Antartico; infine, tutto girò a meraviglia grazie alla coppia  5 e Zero con la quale generò il Polo Nord e il Polo Sud.

***

Capita l'antifona, cari timiducci? Provate a uscire fuori dal vostro angolino e vedrete che si apriranno nuovi orizzonti! A buon intenditor...

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POST CORRELATI

Cari ragazzi e cari colleghi, in questo periodo di vacanze estive, oltre a proporre  giochi di tipo matematico, paradossi e puzzle, curiosità e notizie storiche, ho pensato di fornire delle risposte a domande che sia voi alunni, ma anche adulti e colleghi, mi avete rivolto in sedi e tempi diversi.

La domanda che stiamo per affrontare in questo post è la seguente:"Lo zero può essere considerato un numero naturale o no?"

La domanda non banale, in base alla mia esperienza, viene posta quasi sempre in prima, ma anche negli anni successivi.

D'altronde i testi scolastici forniscono indicazioni differenti in proposito. In alcuni di essi si legge che Z_o è l'insieme dei numeri interi compreso lo 0 mentre in altri si legge che è l'insieme dei numeri interi escluso lo 0.

(Gli studiosi della teoria degli insiemi a volte denotano l'insieme dei numeri naturali con ω, in relazione al concetto di numero ordinale. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.)

La questione è interessante, per cui ho pensato di riportare l'esaustiva risposta di un esperto. Le sottolineature in colore sono mie.

Leggete di seguito e lasciate, come al solito, le vostre considerazioni e riflessioni con i commenti al post!

 ***

Paolo Negrini - Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna

La "scienza esatta" per eccellenza, la matematica, non riesce a dare una risposta univoca alla domanda se 0 sia oppure no un numero naturale!  Questo fatto può lasciare perplessi anche studiosi assai più esperti del giovane studente che desidera chiarimenti sull'argomento. Siamo infatti abituati a definizioni opportunamente rigide, che non lasciano spazio ad ambiguità o equivoci; per esempio "si dice rettangolo un quadrilatero con quattro angoli retti": questa frase non lascia dubbi su che cosa sia un rettangolo e che cosa non lo sia.

In effetti il problema qui sollevato riguardo allo zero non è molto grave.  Non si mettono in dubbio le proprietà o il comportamento di questo numero nelle operazioni; semplicemente si vuole stabilire se 0 appartenga oppure no ad un insieme denotato con un determinato simbolo.  Il dilemma sussiste in effetti più per l'insieme N dei numeri naturali, che per l'insieme Z dei numeri interi.

Ebbene, 0 è un numero naturale, si o no?

La descrizione assiomatica dei numeri naturali, dovuta al matematico piemontese Giuseppe Peano (1858-1932) poggia essenzialmente sul concetto di "successivo": intuitivamente, per spiegare "che cosa sono" i numeri naturali si stabilisce che:

* 0 (oppure 1: ecco il "dilemma") è il primo numero naturale.

** gli altri numeri naturali sono quelli che si ottengono addizionando ripetutamente 1 al primo numero; se siamo partiti da 0 abbiamo quindi

1 = "il successivo di 0" (intuitivamente, 0+1)

2 = "il successivo di 1" (intuitivamente, 1+1)

3 = "il successivo di 2" (intuitivamente, 2+1)

eccetera. 

L'assioma fondamentale è che di ogni numero naturale esista il successivo, e che questo non sia in nessun caso un numero già incontrato in precedenza.

L'idea non cambia se anziché partire da 0 si parte da 1; semplicemente ci si sposta di un gradino.  La scelta di partire da 0 oppure da 1, sulla quale i matematici non sono unanimi, trae origine dalle diverse applicazioni, per alcune delle quali risulta più conveniente la prima scelta, mentre la seconda è più vantaggiosa per altre.

Quando i numeri naturali sono utilizzati come "cardinali", cioè per contare è ragionevole comprendere fra di essi anche zero.  Se si deve, per esempio, fare una statistica su quante volte in un anno ciascun abitante di una determinata città va dal medico, la risposta che ogni intervistato darà è un numero intero positivo, oppure zero: è quindi necessario prevedere fra le risposte ammissibili anche zero. 

Invece, quando i numeri naturali hanno il ruolo di ordinali, cioè servono per stabilire un ordinamento fra elementi di un dato insieme, è normale partire da 1: la graduatoria di una gara, per esempio, di corsa, inizia dal 1° classificato, poi il 2°, eccetera; non c'è alcun classificato al posto 0.

L'uso comune pone tuttavia un'eccezione a quest'ultima "regola": i piani delle case sono indicati con denominazione "ordinale": primo piano, secondo piano, ecc.; ma sotto al primo piano c'è il piano terra, al quale è naturale associare il numero 0.  In effetti la pulsantiera dell'ascensore inizia da zero (e a volte anche da -1, se l'ascensore ha la possibilità di condurci fino in cantina).

Concludendo, speriamo di avere chiarito che non è un vero problema se zero sia o no un numero naturale.  Importante è conoscere le proprietà di questo numero e degli altri, rispetto alle operazioni: per esempio, ogni numero addizionato a zero rimane invariato; ogni numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero.

Rimane la scomodità di non avere mai la certezza, quando si consulta un testo di matematica, se con un certo simbolo, sia questo N, N*, N₀, si intenda denotare i numeri naturali con primo elemento 0, oppure 1.  Per questa ragione molti libri di matematica riportano, in genere in seconda o terza di copertina o in introduzione, l'"elenco dei simboli", cioè quale significato sia assegnato in quel libro a ciascun simbolo.

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8. Potenza Di Un Numero Naturale [Learning Object da scaricare]

9. Potenze: Le Proprietà Fondamentali

Cari ragazzi, amici e lettori,

come seguito del post su “Multipli E Divisori Di Un Numero Naturale”, ecco a voi  un secondo articolo di Filippo M. e Manuel M. sui criteri di divisibilità.
Ragazzi vi siete impegnati molto, pertanto voglio dirvi: “Bravi”

                                                                        *************

Dalla lezione, svolta in classe, abbiamo compreso che:

I criteri di divisibilità sono delle regole che permettono di verificare la divisibilità di un numero per un altro numero,  senza eseguire esplicitamente la divisione.

Salve a tutti, siamo Manuel M. e Filippo M. di 1° A.

In questo articolo, vi parleremo dei multipli e dei divisori di un numero naturale, un argomento che ci ha appassionato molto.
Dalla scuola elementare, conoscevamo già i divisori e i multipli di un numero, ma le nostre conoscenze erano piuttosto meccaniche. Adesso siamo andati più in profondità, comprendendo altri aspetti matematici più “astratti”, come dice la prof., e di carattere più generale.
Iniziamo.                                                    

  I multipli di un numero

Cari ragazzi,

ieri, 14 marzo, è stata la festa internazionale del pi greco, idea lanciata dall'Exploratorium di San Francisco, il grande Museo della Scienza, che da alcuni anni, il 14 marzo appunto, celebra il numero più famoso e misterioso del mondo matematico, con una serie di giochi, musiche, filmati ed altre iniziative tutte ispirate al π. Una curiosità: Albert Einstein è nato a Ulma il 14 marzo 1879.

Ieri, non ho potuto postare perché sono stata fuori per un seminario scientifico, ma lo faccio con piacere oggi. Ringrazio degli auguri l'amica Animans, che ha pubblicato sul suo blog un articolo specifico.

Ritorniamo al nostro pi greco. Martin Gardner afferma che "Il numero pi greco, correttamente interpretato, contiene l’intera storia dell’umanità".

Ma chi è questo numero così speciale da meritare una festa tutta per sé? Voi, ragazzi di 2°, lo saprete tra non molto appena tratteremo in geometria il cerchio, mentre voi di 1° dovrete aspettare un altro anno.

Qualche anticipazione, comunque, non guasta, anche perché so quanto siete curiosi;).

Leggete qui quanto ci dice al riguardo wikipedia.

Si legge sul sito POLYMATH:

"Pi greco è un numero che nasce semplicemente dal rapporto tra il perimetro della figura perfetta, il cerchio, e il suo diametro, e che ritroviamo nel disco del Sole o in quello della Luna, nei cerchi creati da un sasso lanciato in uno stagno, nell’aureola dei Santi , in una ruota e in mille altre situazioni.

La faccia di Pi greco – scrive Bertrand Russell in un suo racconto - era mascherata e si capiva che nessuno avrebbe potuto vederla e restare vivo. Ma dalla maschera usciva uno sguardo penetrante, inesorabile, freddo ed enigmatico.

E' un numero trascendente, cioè un numero irrazionale che non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali, ma che compare come limite di molti procedimenti infiniti. Leibniz, ad esempio, trovò la prima serie numerica per il calcolo di π:

4 (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ...).

E ancora:

"Le cifre decimali di π sono infinite e la loro successione sembra sfuggire a qualsiasi regola, anche se molti matematici pensano che non sia del tutto casuale:

3,14159265358979...

Oggi ne sono state calcolate al computer 1.241.100.000.000 cifre e siamo solo all’inizio, … perché le sue cifre sono infinite.

Scrive Blaise Pascal:

L'Universo è un cerchio, il cui centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte."

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ALTRE INFORMAZIONI E CURIOSITA' SUL PI GRECO

- Py Day 2008

- Le prime diecimila cifre decimali di π (da wikipedia)

- Nuovo record per il pi greco a memoria

- La storia del pi greco, con attività ed esercizi

- La collana del pi greco

- Le cifre del pi greco convertite in una sequenza musicale

- La sinfonia del pi greco

- Pi Day Links

- L'irrazionalità del pi greco,  una dimostrazione per i più grandi