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Per la precisione, consistono in una serie di operazioni da svolgersi  sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente o, comunque, essere più rapide rispetto alla divisione.
In definitiva, abbiamo compreso che  i criteri di divisibilità costituiscono un modo per snellire di un bel po’ la ricerca dei divisori di un numero. La prof. ci anticipa che utilizzeremo i criteri di divisibilità nella scomposizione di un numero in fattori primi.

Iniziamo con il criterio di divisibilità  più semplice.

- Criterio di divisibilità per 2

Abbiamo considerato alcuni multipli di 2:

M(2) = [ 2, 4, 6, 8, 10, 22, 34, 46,…]

La prof. ci ha fatto riflettere sul fatto che essi sono tutti numeri pari, per cui abbiamo dedotto che:

Un numero è divisibile per  2 se termina con una cifra pari (ricordiamo che lo zero è considerato un numero pari)

ESEMPI:

14 è divisibile per 2

23 non è divisibile per 2

- Criterio di divisibilità per 5

La prof. ci ha fatto considerare alcuni multipli di 5:

M(5)= [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…]

Avendo notato che tutti i numeri terminano per cinque o per zero, abbiamo concluso che:

Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque.

ESEMPI:

55 è divisibile per 5 perché termina con cinque

60 è divisibile per 5 perché termina per zero

37 non è divisibile per 5 perché non termina né per cinque né per zero.

- Criterio di divisibilità per 3 e per 9

La prof. ci ha fatto considerare  alcuni multipli di 3 (li ha scelti appositamente):

M (3)= [ 3, 6, 9, 12, 24, 36, 90,…132,…222, …351]

E alcuni multipli di  9:

M(9)= [9, 18, 27, 36, 90, …369,…432,…8919]

Per i numeri sino a due cifre, è stato facile  verificare la divisibilità per 3 e per  9; poiché per quelli con più di due cifre, non eravamo convinti che fossero multipli di 3 e di 9, la prof. ci ha fatto eseguire la divisione in colonna. In tutti i casi considerati, il resto ottenuto era 0.

Abbiamo osservato che i numeri sopra elencati possono essere sia pari che dispari, perciò la tipologia pari/dispari non è un elemento discriminante ai fini della loro divisibilità per 3 (o per 9).

Dopo varie considerazioni, qualcuno di noi ha osservato che, nel caso dei multipli di 3, la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di 3.

A questo punto, abbiamo verificato che anche i multipli del 9, sopra considerati, si comportano allo stesso modo.

Siamo, quindi, giunti alla conclusione che:

Un numero è divisibile per  3 (o 9) se la somma delle sue cifre è multiplo di 3 (o di 9):

ESEMPI:

12 è divisibile per 3     perché 1+ 2= 3

24 è divisibile per 3     perché 2+ 4= 6

3 e 6 sono multipli di 3.

16 non è divisibile per 3    perché  1+6= 7 , che non è multiplo di 3

18 è divisibile per 9  perché 1+ 8= 9

369 è divisibile per 9 perché 3+ 6+ 9= 18

9 e 18 sono multipli di 9.

457 non è divisibile per 9    perché  4+5+7= 16

16 non è multiplo di 9

Abbiamo, infine, osservato che quando un numero è divisibile per 9 lo è anche per 3, mentre non vale il viceversa.

Osservate un po’:

18, 27, 36, 54, 63 si trovano sia nella tabellina del  9 che del 3;

6, 12, 24 si trovano soltanto nella tabellina del 3!

Per finire, vi proponiamo alcuni esercizi (che anche noi abbiamo svolto) mediante i quali potrete verificare la vostra comprensione di quanto esposto.

Esercizi

n.1

Un numero è divisibile per 2 se:

a.Una delle sue cifre è  pari;
b.la sua ultima cifra è pari;
c.ha un numero pari di cifre.

n. 2

Un numero è divisibile per 3 se:

a.la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
b.la differenza delle sue cifre è un multiplo 3;
c.termina con le cifre 3, 6, 9.

n. 3

Un numero è divisibile per 5 se:

a.La somma delle sue cifre è un multiplo di 5;
b.ha come ultima cifra il numero 0 oppure 5;
c.la differenza tra le cifre di posto dispari e quelle di posto pari è multiplo di 5.

n. 4

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 2:

6, 9, 11, 16, 28, 33, 44, 50, 194, 348.

n. 5

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 3:

5, 6, 21, 22, 23, 30, 33, 45, 69.

n. 6

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 5:

6, 10, 15, 20, 22, 23, 30, 33, 35, 47, 51, 60.

n. 7

Scrivi al posto dei puntini una cifra tale da rendere il numero divisibile sia per 3 che per 9.

3…; 10…; ….1; …71; …56; 4…2; 1…27; …57; 77…

Potete scaricare il .pdf di questo articolo cliccando sull'icona seguente.

Alla prossima!

Finito l'articolo dei ragazzi, intervengo per segnalare alcune utili risorse reperibili in rete:

Esercizi interattivi online sui criteri di divisibilità >>

Software sulla divisibilità, da scaricare e installare sul pc >>

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