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by Blografando

27/07/2008
09:11

Postato da nereide1

Cari ragazzi di tutte le classi, in prima abbiamo iniziato lo studio della geometria. Lo scorso anno tre ragazze dell’ex-prima A (Agnese, Miriam e Letizia) scrissero un post interessante “Si inizia con la geometria”, in cui esponevano il risultato di una loro ricerca sulla geometria euclidea e  sull’opera di Euclide (vi invito a rileggere il post, che è molto istruttivo!).

Adesso riprendiamo l’argomento con un excursus veloce circa la nascita e l’evoluzione della geometria euclidea…e oltre!!!

Buona lettura!

***

La nascita della geometria probabilmente avvenne quando l’uomo primitivo iniziò ad osservare la natura e cercò di riprodurre per mezzo di disegni quello che vedeva: guardando il Sole e la Luna è nato il concetto di cerchio, le stelle sono i punti, una grande pianura il piano, una montagna il triangolo. Per molti anni la geometria è stata così relegata a motivazioni pratiche come la costruzione di oggetti (frecce, ciotole…) ispirandosi alle forme “geometriche” derivabili dalla natura.

Dobbiamo arrivare alle grandi civiltà Egiziana ed Assiro-Babilonese per vedere i primi calcoli di geometria applicati alla misurazione di lunghezze e superfici.
Il grande sviluppo della geometria si fa risalire al VII secolo a. C. quando i matematici greci, grazie anche alle conoscenze acquisite nei numerosi viaggi in Oriente, iniziarono ad elaborare un sistema strutturato. Poco alla volta la geometria diventò slegata da ogni applicazione pratica e gli enti geometrici diventarono concetti mentali sui quali cercare legami e proprietà. Pitagora prima (VI secolo a. C.) ed Eudosso poi (IV secolo a.C.) diedero un notevole contributo in questo senso, ma l’intervento più importante fu quello di Euclide (300 a.C. circa). Nella sua opera, i 13 libri degli Elementi, che sono il primo trattato scientifico arrivato sino a noi, Euclide raccoglie le conoscenze geometriche dell’epoca e le espone in modo sistematico, astratto e generalizzato, creando così un modello di teoria matematica che è rimasto insuperato per secoli. Nei suoi libri, Euclide segue uno schema logico ben preciso: inizia a definire i “termini”, cioè la definizione delle parole usate nel seguito; successivamente vengono enunciate le proposizioni non dimostrate, chiamate assiomi o postulati. Tutte le altre conseguenze, i teoremi, derivano dalle definizioni iniziali mediante processi  di ragionamento chiamati dimostrazioni.
Per secoli, Euclide è stato considerato un’autorità scientifica indiscutibile e la sua geometria (la cosiddetta geometria euclidea) costituì il  modello di base per la rappresentazione della realtà in gran parte del mondo. Essa influenzò anche l’arte, l’architettura e la stessa psicologia dell’uomo, il suo modo di vedere le cose e di pensare.

Nel 1700 il gesuita italiano Girolamo Saccheri, considerando gli assiomi di Euclide, volle provare a dimostrare il 5° postulato (per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela) a partire dagli altri assiomi. Nel tentativo di provare la sua tesi, partendo dalla negazione del 5° postulato,  riuscì a costruite una pseudogeometria che funzionava anche senza il 5° postulato. La sua opera conobbe una certa fama dopo la sua morte, ma poi andò dimenticata.

La svolta avviene circa un secolo dopo, quando il matematico russo Nikolaj Ivanovic Lobacewskij (1793-1856) e l’ungherese Janos Bolyai ( 1802- 1860), indipendentemente uno dall’altro, capirono che non era possibile dimostrare il 5° assioma di Euclide a partire dagli altri assiomi. Entrambi costruirono una geometria basata sulla considerazione che, data una retta r e un punto P fuori di essa, esiste più di una parallela  per P alla retta r. Con questo nuovo assioma riuscirono a costruire una nuova geometria alla quale fu dato il nome di geometria iperbolica. In essa non valgono molti teoremi (per esempio il teorema di Pitagora o quello relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo) ed è possibile compiere operazioni geometriche impossibili (ad esempio la quadratura del cerchio).

Un secolo più tardi, il tedesco Georg F.B. Riemann (1826-1866), sempre negando il 5° postulato di Euclide, costruì un’altra geometria, detta geometria ellittica, basata sul presupposto che per un punto esterno ad una retta non si può condurre alcuna parallela.
Per avere un esempio della geometria ellittica basta considerare un mappamondo. Su di esso è possibile costruire un triangolo con tre angoli retti. Basta, infatti:

• Posizionarsi sull’Equatore in corrispondenza del meridiano di Greenwick (0°)
• Spostarsi a destra lungo l’Equatore per 90°
• Salire verso il polo Nord
• Ripercorrere il meridiano di Greenwick fino a giungere all’Equatore.

Ma allora perché studiare la geometria euclidea? Possiamo affermare senza ombra di dubbio che le sue conclusioni continueranno a valere ancora per molti anni. Sulla superficie terrestre continueremo ad usare questa geometria per costruire case, strade ed altro ancora. Allo stesso tempo, però, oggi disponiamo anche di altre geometrie che possiamo utilizzare a seconda dei nostri scopi.
Nello studio dell’astronomia, spesso, soprattutto per gli oggetti più distanti (quasar), si ricorre alla geometria iperbolica.

Nella robotica invece si possono muovere i bracci del robot lungo circonferenze o su una sfera, utilizzando le leggi della geometria ellittica. Un’altra applicazione la troviamo nella determinazione delle rotte degli aerei. I piloti degli aerei sanno benissimo che per andare da Milano a New York è più veloce passare dal Polo Nord che viaggiare lungo il parallelo: utilizzano così la geometria ellittica anche se forse non l’hanno mai studiata.

***

Una versione bilingue (inglese-greco) degli Elementi

Euclid's Elements (using geometry applet)

Euclid's Elements (Table of Contents)

Leggi i post correlati, cliccando sul tag "geometria">>

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Bibliografia di riferimento: Vacca, Artuso, Bezzi “Geometria 1”, ATLAS 

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25/07/2008
09:00

Postato da nereide1

Cari ragazzi, vi propongo alcuni interessanti paradossi geometrici percettivi, selezionati in rete. Sono sei animazioni interattive che potete manipolare direttamente online.

Guardate che cosa può elaborare la nostra mente, a partire da immagini che presentano  particolari accostamenti di forme!

Il seguente screenshot  riporta le immagini di tre dei sei paradossi. Cliccate sul link per raggiungere la pagina delle illusioni ottiche.

Buon divertimento!

Un mondo di... Illusioni Ottiche via kwout

 

Visitare anche i seguenti tag, su questo blog, per trovare divertenti giochi logici, paradossi e puzzle:

giochi interattivi

giochi matematici

paradossi matematici

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21/07/2008
08:27

Postato da nereide1

Cari ragazzi e cari lettori, vi invito a leggere con attenzione la storia, che vi propongo di seguito.

***

Siamo in Francia nel 1780, in un tribunale della città di Evreux.
Monsieur Denis ha citato davanti al giudice Monsieur Durand perché ritiene di essere stato imbrogliato. Fra il brusio del pubblico, il giudice chiede. <<Monsieur Denis, perché dite che Durand vi ha imbrogliato? Vi ha venduto un pezzo di terra e ve lo ha consegnato regolarmente. Di che vi lamentate?>>
Denis risponde:
<<E’ semplice. Durand mi ha consegnato meno della metà della terra che avevo comprato. Per fortuna avevamo scritto insieme un contratto. Eccolo, signor giudice. Dice che il terreno che Durand mi ha venduto ha l’estensione di un A. Ora in Normandia sappiamo che un A non può voler dire altro che “un acro di Normandia”. Io lo conosco bene un acro di Normandia. E’ un quadrato che ha un lato lungo 90 passi dei miei…>>

Alcuni del pubblico gridano: <<Denis, li conosciamo bene i tuoi passi! Tu sei un gigante e i tuoi passi  sono ben lunghi>>.

Denis risponde: <<Il terreno che mi ha consegnato Durand è un quadrato, ma il lato è lungo solo 65 dei miei passi. La superficie è circa la metà di quel che dovevo avere>>.

Il giudice chiede: <<E voi, Durand, che cosa avete da dire?>>
Durand risponde: << Signor giudice, io vengo da Parigi, la capitale della Francia. A Parigi, tutti sanno che quando si scrive un A intendiamo “un arpent di Parigi”. E’ proprio questa la misura del terreno che ho dato a Denis. Che cosa vuole ora da me?>>

Denis risponde: << Ma li usino a Parigi gli arpent di Parigi! Qui a Evreux siamo praticamente in Normandia e usiamo gli acri di Normandia>>.

Il giudice non sa che fare, così decide di tagliare il male a metà. Dice: << Così non troveremo mai un accordo. Io sono stato militare e ho sempre usato l’arpent di ordinanza, che è una misura intermedia fra l’acro di Normandia e l’arpent di Parigi. Dunque decido che Durand dovrà aggiungere tanta terra a quella che consegna a Denis fino a raggiungere un arpent di ordinanza>>.

***

A quell’epoca si saranno verificati migliaia di casi simili. I calcoli di Denis erano quasi esatti. I lati dei quadrati corrispondenti a estensioni di terreno di un arpent di Parigi, di un arpent di ordinanza e di un acro di Normandia, erano rispettivamente: 65 m, 71, 4 m e 90, 04 m. Le superfici relative si ottengono moltiplicando i lati per se stessi e risultano di 4225, 5098 e 8144 metri quadrati.
Le confusioni sorgevano non solo per le superfici, ma- naturalmente- anche per le lunghezze, i volumi e i pesi. Spesso, inoltre, venivano usate unità di misura diverse a seconda di che cosa si stesse misurando: grano, birra o sostanze medicinali.

Nella sola Europa esistevano 22 diverse misure di peso e di lunghezza in: Baviera, Brema, Danimarca, Firenze, Francoforte, Genova, Ginevra, Amburgo, Olanda, Lubecca, Malta, Milano, Napoli, Portogallo, Prussia, Roma, Russia, Sassonia, Sicilia, Spagna, Svezia e Venezia.

Per evitare tali problemi, nel 1790, l’assemblea costituente francese istituì una Commissione di fisici e matematici per definire un nuovo sistema di misura valido per tutti. Nacque così nel 1799 il sistema metrico decimale. Per ogni unità di misura fu realizzato un modello, in seguito più volte corretto, conservato a Sèvres (Parigi). Nel 1960 la Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure stabilì il Sistema Internazionale delle Unità di misura oggi in vigore in 51 stati.

Vi propongo, a questo punto, un problema da risolvere, tratto dalla Finale internazionale delle Olimpiadi della matematica, 2000: “Antiche unità di misura”

All’inizio del secolo, nella regione dell’Isère, esistevano due unità per la misura di un’area:

• La “bichérée”, uguale a 1600 metri quadrati;
• Il “journal”, uguale a 1800 metri quadrati.

Robert Vassel possedeva una proprietà, una parte della quale era misurata in “bichérée” e l’altra in “journal”. Il numero delle “bichérées” era il doppio del numero dei “journali”. L’area complessiva misurava 195 000 metri quadrati. Quali erano il numero di “bichérées” e di “journali” delle due parti della proprietà?

Concludo il post con alcuni link utili.

W la Matematica. Eserciziario di matematica su: operazioni, frazioni, numeri decimali, tabelline, sistema metrico decimale per  la scuola primaria e il primo anno della scuola secondaria di 1° grado

Conversioni e convertitori online. Questo sito è composto da una serie di convertitori on-line che permettono la conversione delle unità di misura tra il sistema metrico e anglosassone.

Prontuario delle misure

E per finire, ecco lo screenshot di una interessante applicazione interattiva in flash.

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Bibliografia di riferimento: Vacca, Artuso, Bezzi “Geometria 1”, ATLAS 

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18/07/2008
07:12

Postato da nereide1

Cari lettori, per fornire una qualche risposta alle parole chiave con cui Google porta visitatori a questo blog, ho deciso di preparare un sintetico tutoriale per il calcolo di una espressione aritmetica con Excel.

***

Se vogliamo calcolare il valore di una espressione, per esempio (15-6+12+2)/3, dobbiamo scrivere l’espressione preceduta dal segno “=” nella cella in cui vogliamo ottenere il risultato e premere Invio.

Fare attenzione al fatto che nella cella compare il risultato, mentre la formula si può visualizzare, selezionando la cella nella barra delle formule.

Se i numeri che compongono l’espressione sono scritti in celle diverse, per esempio in A1:A5, l’espressione, che dovremo scrivere nella cella in cui vogliamo ottenere il risultato, sarà: = (A1-A2+A3*A4)/A5

Invece di inserire le coordinate delle celle contenenti le cifre, possiamo anche cliccare su di esse mentre scriviamo l’espressione: le coordinate saranno riportate automaticamente.

L’utilità di un programma come Excel sta nel fatto che se modifichiamo il valore di una cella, varierà il risultato di tutti i calcoli che fanno riferimento a tale cella.

Attenzione:
Se in un’espressione figurano vari tipi di parentesi, si scrivono sempre quelle tonde al posto delle quadre e delle graffe, come si può osservare nello screenshot.

L’espressione calcolata con Excel è la seguente:

[(0/5^3)*(13^4/13^2)]*[2*(2+5)*3-5^2/1^2]+2/2.

Molto semplice, vero?

***

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- La "macchina dei divisori" con Excel

- L'uso di Excel per la Statistica

- Frazioni e risorse Excel

- Le Quattro Operazioni Con Excel [Esercitazione]

- Tabelle E Grafici Con Excel [Esercitazione Di Cecilia]

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14/07/2008
11:40

Postato da nereide1

Cari ragazzi di 1° A, vi propongo alcune ottime e divertenti risorse per il ripasso delle tabelline. Alcuni di voi ne hanno veramente bisogno, ma il ripasso fa bene a tutti!!!

E allora, via...

Cliccate sui link, che trovate subito dopo le immagini proposte.

Cominciamo con la proposta di Maestra Renata. Seguite le indicazioni del post, che raggiungerete cliccando sul link. 

Ed ecco la proposta di Maestra Maria Pia! 

Non potevano mancare le tabelline di Maestro Renato.

Altre risorse sulle tabelline:

- da "Il paese dei bambini che sorridono" gioca online!

- Gioca con le "Crucitabelline" di Maestra Sandra!

- Gioca con la "Tombola delle tabelline" da fabbriscuola.it!

Nei post correlati, troverete, inoltre, risorse sulle tabelline raggiungibili su questo blog.

Buon ripasso!!!

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- Tabelline e Didattica

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